Un système de communication encode des messages en transformant des vecteurs \(V \in \mathbb{R}^3\) en vecteurs codés \(V' = AV\), où : \[A = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}.\] Décoder un message consiste donc à retrouver \(V\) à partir de \(V'\).
Calculer \(\det(A)\). Que peut-on en conclure sur l’inversibilité de \(A\) et sur la possibilité de décoder les messages ?
Calculer la matrice inverse \(A^{-1}\) à l’aide de la méthode de Gauss-Jordan.
Décoder les trois vecteurs suivants en calculant les vecteurs originaux \(V_1\), \(V_2\), \(V_3\) : \[V'_1 = \begin{pmatrix}4\\7\\9\end{pmatrix},\quad V'_2 = \begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix},\quad V'_3 = \begin{pmatrix}4\\1\\5\end{pmatrix}.\]
On remplace maintenant la matrice de codage par \[B = \begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&2\\1&3&2\end{pmatrix}.\] Expliquer pourquoi ce nouveau système de codage serait défaillant.