Matrices, déterminants et inversion

Calculer $\det(A)$. Que peut-on en conclure sur l’inversibilité de $A$ et sur la possibilité de décoder les messages ?

Calculer la matrice inverse $A^{-1}$ à l’aide de la méthode de Gauss-Jordan.

Décoder les trois vecteurs suivants en calculant les vecteurs originaux $V_1$, $V_2$, $V_3$ : $$V'_1 = \begin{pmatrix}4\\7\\9\end{pmatrix},\quad V'_2 = \begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix},\quad V'_3 = \begin{pmatrix}4\\1\\5\end{pmatrix}.$$

On remplace maintenant la matrice de codage par $$B = \begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&2\\1&3&2\end{pmatrix}.$$ Expliquer pourquoi ce nouveau système de codage serait défaillant.