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On désigne par $\mathcal{P}_2$ l’espace des polynômes sur $\mathbb{R}$ de degré inférieur ou égal à $2$ . On désigne par $(e_0,e_1,e_2)$ la base canonique de $\mathcal{P}_2$ et on pose $p_0=e_0, \quad p_1=e_1-\frac{1}{2}e_0,\quad p_2=e_2-e_1+\frac{1}{2}e_0.$

Montrer que tout polynôme de $\mathcal{P}_2$ peut s’écrire de façon unique sous la forme $p=b_0p_0 +b_1p_1+b_2p_2$ .

Écrire sous cette forme les polynômes : $p'_0$ , $p'_1$ , $p'_2$ , $p'$ , $Xp'$ , $p''$ .

Montrer que l’application $\varphi:\mathcal{P}_2 \to\mathcal{P}_2$ définie par $\varphi(p)=Xp'-\frac{1}{2}p'+\frac{1}{4}p''$ est une application linéaire. Préciser le noyau et l’image de cette application. Écrire les matrices de cette application par rapport à la base canonique $(e_i)$ et par rapport à la base $(p_i)$ . Écrire la matrice de passage de la base $(e_i)$ à la base $(p_i)$ ; quelle relation lie cette matrice aux deux précédentes ?

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