On désigne par \(\mathcal{P}_2\) l’espace des polynômes sur \(\mathbb{R}\) de degré inférieur ou égal à \(2\). On désigne par \((e_0,e_1,e_2)\) la base canonique de \(\mathcal{P}_2\) et on pose \[p_0=e_0, \quad p_1=e_1-\frac{1}{2}e_0,\quad p_2=e_2-e_1+\frac{1}{2}e_0.\]
Montrer que tout polynôme de \(\mathcal{P}_2\) peut s’écrire de façon unique sous la forme \(p=b_0p_0 +b_1p_1+b_2p_2\).
Écrire sous cette forme les polynômes : \(p'_0\), \(p'_1\), \(p'_2\), \(p'\), \(Xp'\), \(p''\).
Montrer que l’application \(\varphi:\mathcal{P}_2 \to\mathcal{P}_2\) définie par \(\varphi(p)=Xp'-\frac{1}{2}p'+\frac{1}{4}p''\) est une application linéaire. Préciser le noyau et l’image de cette application. Écrire les matrices de cette application par rapport à la base canonique \((e_i)\) et par rapport à la base \((p_i)\). Écrire la matrice de passage de la base \((e_i)\) à la base \((p_i)\) ; quelle relation lie cette matrice aux deux précédentes ?