$\begin{align*} A(\theta)\times A(\theta') & = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \cos \theta' & -\sin \theta' \\ \sin \theta' & \cos \theta' \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \cos \theta\cos \theta' -\sin \theta \sin\theta' & - \cos \theta \sin \theta' - \sin \theta \cos \theta' \\ \sin \theta \cos \theta'+\cos \theta \sin \theta' & -\sin \theta \sin\theta'+\cos \theta\cos \theta' \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \cos (\theta+\theta') & -\sin (\theta+\theta') \\ \sin (\theta+\theta') & \cos (\theta+\theta') \end{pmatrix} \\ & = A(\theta+\theta') \\ \end{align*}$

Bilan : $A(\theta)\times A(\theta') = A(\theta+\theta')$ .

Nous allons montrer par récurrence sur $n\ge 1$ que $\big(A(\theta)\big)^n = A(n\theta)$ .

C’est bien sûr vrai pour $n=1$ .
Fixons $n\ge 1$ et supposons que $\big(A(\theta)\big)^n = A(n\theta)$ alors $\big(A(\theta)\big)^{n+1} = \big(A(\theta)\big)^n \times A(\theta) = A(n\theta) \times A(\theta) = A(n\theta+\theta) = A((n+1)\theta)$
C’est donc vrai pour tout $n\ge 1$ .

Remarques :

On aurait aussi la formule $A(\theta')\times A(\theta) = A(\theta+\theta') = A(\theta)\times A(\theta')$ . Les matrices $A(\theta)$ et $A(\theta')$ commutent.
En fait il n’est pas plus difficile de montrer que $\big(A(\theta)\big)^{-1}=A(-\theta)$ . On sait aussi que par définition $\big(A(\theta)\big)^{0}=I$ . Et on en déduit que pour $n\in \Zz$ on a $\big(A(\theta)\big)^n = A(n\theta)$ .
En terme géométrique $A(\theta)$ est la matrice de la rotation d’angle $\theta$ (centrée à l’origine). On vient de montrer que si l’on compose un rotation d’angle $\theta$ avec un rotation d’angle $\theta'$ alors on obtient une rotation d’angle $\theta+\theta'$ .

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