\[\begin{align*} A(\theta)\times A(\theta') & = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \cos \theta' & -\sin \theta' \\ \sin \theta' & \cos \theta' \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \cos \theta\cos \theta' -\sin \theta \sin\theta' & - \cos \theta \sin \theta' - \sin \theta \cos \theta' \\ \sin \theta \cos \theta'+\cos \theta \sin \theta' & -\sin \theta \sin\theta'+\cos \theta\cos \theta' \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \cos (\theta+\theta') & -\sin (\theta+\theta') \\ \sin (\theta+\theta') & \cos (\theta+\theta') \end{pmatrix} \\ & = A(\theta+\theta') \\ \end{align*}\]

Bilan : \(A(\theta)\times A(\theta') = A(\theta+\theta')\).

Nous allons montrer par récurrence sur \(n\ge 1\) que \(\big(A(\theta)\big)^n = A(n\theta)\).

C’est bien sûr vrai pour \(n=1\).
Fixons \(n\ge 1\) et supposons que \(\big(A(\theta)\big)^n = A(n\theta)\) alors \[\big(A(\theta)\big)^{n+1} = \big(A(\theta)\big)^n \times A(\theta) = A(n\theta) \times A(\theta) = A(n\theta+\theta) = A((n+1)\theta)\]
C’est donc vrai pour tout \(n\ge 1\).

Remarques :

On aurait aussi la formule \(A(\theta')\times A(\theta) = A(\theta+\theta') = A(\theta)\times A(\theta')\). Les matrices \(A(\theta)\) et \(A(\theta')\) commutent.
En fait il n’est pas plus difficile de montrer que \(\big(A(\theta)\big)^{-1}=A(-\theta)\). On sait aussi que par définition \(\big(A(\theta)\big)^{0}=I\). Et on en déduit que pour \(n\in \Zz\) on a \(\big(A(\theta)\big)^n = A(n\theta)\).
En terme géométrique \(A(\theta)\) est la matrice de la rotation d’angle \(\theta\) (centrée à l’origine). On vient de montrer que si l’on compose un rotation d’angle \(\theta\) avec un rotation d’angle \(\theta'\) alors on obtient une rotation d’angle \(\theta+\theta'\).

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