Étant donné un entier naturel \(n\), on appelle classe d’un entier relatif \(p\) modulo \(n\) l’ensemble \(\overline p = \{p+kn\mid k\in\mathbb{Z}\}\). L’ensemble des classes modulo \(n\) est noté \(\mathbb{Z}_n\).
1
Écrire la liste des éléments distincts de \(\mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_3\), \(\mathbb{Z}_4\) et \(\mathbb{Z}_5\).
2
Montrer que si \(x\in\overline p\) et \(y\in\overline q\), alors \(x+y\in \overline{p+q}\) et \(xy\in\overline{pq}\).
3
En posant \(\overline p+\overline q=\overline{p+q}\) et \(\overline
p\cdot\overline q=\overline{pq}\), on définit deux lois de composition,
addition et multiplication sur \(\mathbb{Z}_n\).
Écrire la table d’addition et de multiplication de \(\mathbb{Z}_4\).