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Étant donné un entier naturel $n$ , on appelle classe d’un entier relatif $p$ modulo $n$ l’ensemble $\overline p = \{p+kn\mid k\in\mathbb{Z}\}$ . L’ensemble des classes modulo $n$ est noté $\mathbb{Z}_n$ .

Écrire la liste des éléments distincts de $\mathbb{Z}_2$ , $\mathbb{Z}_3$ , $\mathbb{Z}_4$ et $\mathbb{Z}_5$ .

Montrer que si $x\in\overline p$ et $y\in\overline q$ , alors $x+y\in \overline{p+q}$ et $xy\in\overline{pq}$ .

En posant $\overline p+\overline q=\overline{p+q}$ et $\overline p\cdot\overline q=\overline{pq}$ , on définit deux lois de composition, addition et multiplication sur $\mathbb{Z}_n$ .
Écrire la table d’addition et de multiplication de $\mathbb{Z}_4$ .

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