Soit $f$ la fonction définie sur $[-1,1]$ par $f(x) = \Arcsin x +\Arccos x$ : $f$ est continue sur l’intervalle $[-1,1]$ , et dérivable sur $]-1,1[$ . Pour tout $x\in]-1,1[$ , $f'(x)= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$ . Ainsi $f$ est constante sur $]-1,1[$ , donc sur $[-1,1]$ (car continue aux extrémités). Or $f(0) = \Arcsin 0 +\Arccos 0 = \frac \pi 2$ donc pour tout $x\in[-1,1]$ , $f(x) = \frac \pi 2$ . Soit $g(x) = \Arctan x + \Arctan \frac 1x$ . Cette fonction est définie sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$ (mais pas en $0$ ). On a $g'(x)= \frac{1}{1+x^2} + \frac{-1}{x^2} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} = 0,$ donc $g$ est constante sur chacun de ses intervalles de définition: $g(x) = c_1$ sur $]-\infty,0[$ et $g(x) = c_2$ sur $]0,+\infty[$ . Sachant $\Arctan 1 = \frac\pi4$ , on calcule $g(1)$ et $g(-1)$ on obtient $c_1 = -\frac \pi 2$ et $c_2 = +\frac \pi 2$ .

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