Soit $f(x)=\Argsh x+\Argch x$ . La fonction $f$ est bien définie, continue, et strictement croissante, sur $[1,+\infty[$ (comme somme de deux fonctions continues strictement croissantes).

De plus, $f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty$ , donc $f$ atteint exactement une fois toute valeur de l’intervalle $[f(1),+\infty[$ . Comme (par la formule logarithmique) $f(1)=\Argsh 1=\ln(1+\sqrt{2})<\ln(e)=1$ , on a $1\in[f(1),+\infty[$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution, que l’on notera $a$ .

Déterminons la solution : $\begin{aligned} \sh 1&=&\sh(\Argsh a+\Argch a)\\ &=&\sh(\Argsh a)\ch(\Argch a)+\sh(\Argch a)\ch(\Argsh a)\\ &=&a^2+\sqrt{a^2-1}\sqrt{a^2+1}=a^2+\sqrt{a^4-1} \end{aligned}$ donc $\sqrt{a^4-1}=\sh 1-a^2$ . En élevant au carré et en simplifiant, on obtient $a^2=\frac{1+\sh^21}{2\sh 1}=\frac{\ch^2 1}{2\sh 1}$ . Comme on cherche $a$ positif (et que $\ch 1>0$ ), on en déduit $a=\frac{\ch 1}{\sqrt{2\sh 1}}$ . Cette valeur est la seule solution possible de l’équation $f(x)=1$ , il faudrait normalement vérifier qu’elle convient bien, puisqu’on a seulement raisonné par implication (et pas par équivalence). Or on sait déjà que l’équation admet une unique solution: c’est donc nécessairement $a=\frac{\ch 1}{\sqrt{2\sh 1}}= \tfrac{1}{2}\frac{e+\frac1e}{\sqrt{e-\frac1e}} = 1,0065\ldots.$

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