\(\Arcsin x\) existe si et seulement si \(x\) est dans \([-1,1]\). Donc, \(\sin(\Arcsin x)\) existe si et seulement si \(x\) est dans \([-1,1]\) et pour \(x\) dans \([-1,1]\), \(\sin(\Arcsin x)=x\).

\(\Arcsin(\sin x)\) existe pour tout réel \(x\) mais ne vaut \(x\) que si \(x\) est dans \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). S’il existe un entier relatif \(k\) tel que \(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x<\frac{\pi}{2}+2k\pi\), alors \(-\frac{\pi}{2}\leq x-2k\pi<\frac{\pi}{2}\) et donc

\[\Arcsin(\sin x)=\Arcsin(\sin(x-2k\pi))=x-2k\pi.\] De plus, on a \(k\leq\frac{x}{2\pi}+\frac{1}{4}<k+\frac{1}{2}\) et donc \(k=E\left(\frac{x}{2\pi}+\frac{1}{4}\right)\). S’il existe un entier relatif \(k\) tel que \(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x<\frac{3\pi}{2}+2k\pi\), alors \(-\frac{\pi}{2}<\pi-x+2k\pi\leq\frac{\pi}{2}\) et donc

\[\Arcsin(\sin x)=\Arcsin(\sin(\pi-x+2k\pi))=\pi-x+2k\pi.\] De plus, \(k\leq\frac{x}{2\pi}-\frac{1}{4}<k+\frac{1}{2}\) et donc \(k=E\left(\frac{x}{2\pi}-\frac{1}{4}\right)\).

\(\Arccos x\) existe si et seulement si \(x\) est dans \([-1,1]\). Donc, \(\cos(\Arccos x)\) existe si et seulement si \(x\) est dans \([-1,1]\) et pour \(x\) dans \([-1,1]\), \(\cos(\Arccos x)=x\).

\(\Arccos(\cos x)\) existe pour tout réel \(x\) mais ne vaut \(x\) que si \(x\) est dans \([0,\pi]\). S’il existe un entier relatif \(k\) tel que \(2k\pi\leq x<\pi+2k\pi\), alors \(\Arccos(\cos x)=x-2k\pi\) avec \(k=E\left(\frac{x}{2\pi}\right)\). S’il existe un entier relatif \(k\) tel que \(-\pi+2k\pi\leq x<2k\pi\) alors \(\Arccos(\cos x)=\Arccos(\cos(2k\pi-x))=2k\pi-x\) avec \(k=E\left(\frac{x+\pi}{2\pi}\right)\).

Pour tout réel \(x\), \(\tan(\Arctan x)=x\).

\(\Arctan(\tan x)\) existe si et seulement si \(x\) n’est pas dans \(\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\) et pour ces \(x\), il existe un entier relatif \(k\) tel que \(-\frac{\pi}{2}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi\). Dans ce cas, \(\Arctan(\tan x)=\Arctan(\tan(x-k\pi))=x-k\pi\) avec \(k=E\left(\frac{x}{\pi}+\frac{1}{2}\right)\).

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