$\Arcsin x$ existe si et seulement si $x$ est dans $[-1,1]$ . Donc, $\sin(\Arcsin x)$ existe si et seulement si $x$ est dans $[-1,1]$ et pour $x$ dans $[-1,1]$ , $\sin(\Arcsin x)=x$ .

$\Arcsin(\sin x)$ existe pour tout réel $x$ mais ne vaut $x$ que si $x$ est dans $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ . S’il existe un entier relatif $k$ tel que $-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x<\frac{\pi}{2}+2k\pi$ , alors $-\frac{\pi}{2}\leq x-2k\pi<\frac{\pi}{2}$ et donc

$\Arcsin(\sin x)=\Arcsin(\sin(x-2k\pi))=x-2k\pi.$ De plus, on a $k\leq\frac{x}{2\pi}+\frac{1}{4}<k+\frac{1}{2}$ et donc $k=E\left(\frac{x}{2\pi}+\frac{1}{4}\right)$ . S’il existe un entier relatif $k$ tel que $\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x<\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ , alors $-\frac{\pi}{2}<\pi-x+2k\pi\leq\frac{\pi}{2}$ et donc

$\Arcsin(\sin x)=\Arcsin(\sin(\pi-x+2k\pi))=\pi-x+2k\pi.$ De plus, $k\leq\frac{x}{2\pi}-\frac{1}{4}<k+\frac{1}{2}$ et donc $k=E\left(\frac{x}{2\pi}-\frac{1}{4}\right)$ .

$\Arccos x$ existe si et seulement si $x$ est dans $[-1,1]$ . Donc, $\cos(\Arccos x)$ existe si et seulement si $x$ est dans $[-1,1]$ et pour $x$ dans $[-1,1]$ , $\cos(\Arccos x)=x$ .

$\Arccos(\cos x)$ existe pour tout réel $x$ mais ne vaut $x$ que si $x$ est dans $[0,\pi]$ . S’il existe un entier relatif $k$ tel que $2k\pi\leq x<\pi+2k\pi$ , alors $\Arccos(\cos x)=x-2k\pi$ avec $k=E\left(\frac{x}{2\pi}\right)$ . S’il existe un entier relatif $k$ tel que $-\pi+2k\pi\leq x<2k\pi$ alors $\Arccos(\cos x)=\Arccos(\cos(2k\pi-x))=2k\pi-x$ avec $k=E\left(\frac{x+\pi}{2\pi}\right)$ .

Pour tout réel $x$ , $\tan(\Arctan x)=x$ .

$\Arctan(\tan x)$ existe si et seulement si $x$ n’est pas dans $\frac{\pi}{2}+\pi\Zz$ et pour ces $x$ , il existe un entier relatif $k$ tel que $-\frac{\pi}{2}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi$ . Dans ce cas, $\Arctan(\tan x)=\Arctan(\tan(x-k\pi))=x-k\pi$ avec $k=E\left(\frac{x}{\pi}+\frac{1}{2}\right)$ .

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