On note \(x\) la distance de l’observateur au pied de la statue. On note \(\alpha\) l’angle d’observation de la statue seule, et \(\beta\) l’angle d’observation du piédestal seul.

Nous avons les relations trigonométriques dans les triangles rectangles : \[\tan(\alpha+\beta) = \frac{p+s}{x} \qquad\text{ et }\qquad \tan\beta = \frac{p}{x}\] On en déduit les deux identités : \[\alpha+\beta = \Arctan\left(\frac{p+s}{x}\right) \qquad\text{ et }\qquad \beta = \Arctan\left(\frac{p}{x}\right)\] à partir desquelles on obtient \(\alpha=\alpha(x)=\Arctan\left(\frac{p+s}{x}\right)-\Arctan\left(\frac{p}{x}\right)\).

Étudions cette fonction sur \(]0,+\infty[\) : elle est dérivable et \[\alpha'(x)=\frac{-\frac{s+p}{x^2}}{1+\left(\frac{s+p}{x}\right)^2}-\frac{-\frac{p}{x^2}}{1+\left(\frac{p}{x}\right)^2}=\frac{s}{(x^2+p^2)(x^2+(s+p)^2)}\big(p(p+s)-x^2\big)\] Ainsi \(\alpha'\) ne s’annule sur \(]0,+\infty[\) qu’en \(x_0 = \sqrt{p(p+s)}\). Par des considérations physiques, à la limite en \(0\) et en \(+\infty\), l’angle \(\alpha\) est nul, alors en \(x_0\) nous obtenons un angle \(\alpha\) maximum. Donc la distance optimale de vision est \(x_0 = \sqrt{p(p+s)}\).

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