Pour tout réel \(x\), \(\ch x>0\). Donc \(f\) est définie, continue et dérivable sur \(\Rr\). Pour tout réel \(x\),

\(f'(x)=\sh x\frac{1}{\ch x}-1=\tanh x-1<0.\)

\(f\) est donc strictement décroissante sur \(\Rr\). Etude en \(-\infty\). \(\lim_{x\rightarrow -\infty}\ch x=+\infty\) et donc \(\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty\). Cherchons une éventuelle droite asymptote.

\(f(x)=\ln\frac{e^x+e^{-x}}{2}-x=\ln(e^x+e^{-x})-\ln2-x=\ln(e^{-x})-x-\ln2+\ln(1+e^{2x})=-2x-\ln2+\ln(1+e^{2x}).\)

Donc, \(f(x)-(-2x-\ln2)=\ln(1+e^{2x})\). Or, d’une part \(\lim_{x\rightarrow -\infty}\ln(1+e^{2x})= 0\) et donc la droite \((D)\) d’équation \(y=-2x-\ln2\) est asymptote à la courbe représentative de \(f\) en \(-\infty\) et d’autre part, pour tout réel \(x\), \(\ln(1+e^{2x})>0\) et la courbe représentative de f est strictement au dessus de \((D)\) sur \(\Rr\). Etude en \(+\infty\).

\(f(x)=\ln\frac{e^x+e^{-x}}{2}-x=\ln(e^x+e^{-x})-\ln2-x=\ln(e^x)-x-\ln2+\ln(1+e^{-2x})=-\ln2+\ln(1+e^{-2x})\)

et \(f\) tend vers \(-\ln2\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). Graphe.

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exo7 5091