Pour tout réel $x$ , $\ch x>0$ . Donc $f$ est définie, continue et dérivable sur $\Rr$ . Pour tout réel $x$ ,

$f'(x)=\sh x\frac{1}{\ch x}-1=\tanh x-1<0.$

$f$ est donc strictement décroissante sur $\Rr$ . Etude en $-\infty$ . $\lim_{x\rightarrow -\infty}\ch x=+\infty$ et donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$ . Cherchons une éventuelle droite asymptote.

$f(x)=\ln\frac{e^x+e^{-x}}{2}-x=\ln(e^x+e^{-x})-\ln2-x=\ln(e^{-x})-x-\ln2+\ln(1+e^{2x})=-2x-\ln2+\ln(1+e^{2x}).$

Donc, $f(x)-(-2x-\ln2)=\ln(1+e^{2x})$ . Or, d’une part $\lim_{x\rightarrow -\infty}\ln(1+e^{2x})= 0$ et donc la droite $(D)$ d’équation $y=-2x-\ln2$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ en $-\infty$ et d’autre part, pour tout réel $x$ , $\ln(1+e^{2x})>0$ et la courbe représentative de f est strictement au dessus de $(D)$ sur $\Rr$ . Etude en $+\infty$ .

$f(x)=\ln\frac{e^x+e^{-x}}{2}-x=\ln(e^x+e^{-x})-\ln2-x=\ln(e^x)-x-\ln2+\ln(1+e^{-2x})=-\ln2+\ln(1+e^{-2x})$

et $f$ tend vers $-\ln2$ quand $x$ tend vers $+\infty$ . Graphe.

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exo7 5091