(On va retrouver le résultat de l’exercice [exo:suprou2] dans un cas particulier)

Soient $a$ et $b$ deux réels positifs. Alors, $\Arctan a\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[$ , $\Arctan b\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[$ et donc, $\Arctan a-\Arctan b\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ . De plus,

$\tan(\Arctan a-\Arctan b)=\frac{\tan(\Arctan a)-\tan(\Arctan b)}{1+\tan(\Arctan a)\tan(\Arctan b)}=\frac{a-b}{1+ab},$ et donc, puisque $\Arctan a-\Arctan b\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ ,

$\forall a\geq0,\;\forall b\geq0,\;\Arctan a-\Arctan b =\Arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right).$

Soit alors $k$ un entier naturel non nul. $\Arctan\frac{2}{k^2}=\Arctan\frac{(k+1)-(k-1)}{1+(k-1)(k+1)}=\Arctan(k+1)-\Arctan(k-1)$ (puisque $k-1$ et $k+1$ sont positifs). Par suite, si $n$ est un entier naturel non nul donné,

$\begin{align*} u_n&=\sum_{k=1}^{n}\Arctan\frac{2}{k^2}=\sum_{k=1}^{n}(\Arctan(k+1)-\Arctan(k-1))=\sum_{k=2}^{n+1}\Arctan k-\sum_{k=0}^{n-1}\Arctan k\\ &=\Arctan(n+1)+\Arctan n-\frac{\pi}{4}. \end{align*}$ La limite de $u_n$ vaut donc $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$ .

$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\frac{3\pi}{4}$ .

exo7 5090