Posons $I_0=\left[0, \frac{\pi}{2}\right[$ puis pour $n\in\Nn^*$ , $I_n=\left]- \frac{\pi}{2}+n\pi, \frac{\pi}{2}+n\pi\right[$ et enfin $D =\displaystyle\bigcup_{n\in\Nn}I_n$ .

Pour $x\in D$ , posons $f(x) =\tan x -x$ . La fonction $f$ est dérivable sur $D$ et pour $x\in D$ , $f'(x) =\tan^2x$ . La fonction $f$ est ainsi strictement croissante sur chaque $I_n$ et s’annule donc au plus une fois dans chaque $I_n$ .

$f(0) = 0$ et donc $f$ s’annule exactement une fois dans $I_0$ en $x_0=0$ .

Pour $n\in\Nn^*$ , $f$ est continue sur $I_n$ et de plus $f\left(\left(- \frac{\pi}{2}+n\pi\right)^+\right)\times f\left(\left( \frac{\pi}{2}+n\pi\right)^-\right)=-\infty\times+\infty<0$ . D’après le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ s’annule au moins une fois dans $I_n$ et donc exactement une fois dans $I_n$ .

L’équation $\tan x = x$ admet donc dans chaque intervalle $I_n$ , $n\in\Nn$ , une et une seule solution notée $x_n$ . De plus, $\forall n\geqslant1$ , $f(n\pi) =-n\pi < 0$ et donc $x_n\in]n\pi, \frac{\pi}{2}+n\pi[$ .

Pour $n\geqslant1$ , $n\pi< x_n < \frac{\pi}{2}+n\pi$ et donc $\lim_{n \rightarrow +\infty}x_n=+\infty$ puis $x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n\pi$ et même

$x_n\underset{n\rightarrow+\infty}=n\pi+ O(1)$ .

Ensuite, puisque $x_n-n\pi\in\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ et que $x_n=\tan(x_n)=\tan(x_n-n\pi)$ , $x_n-n\pi=\Arctan(x_n)\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow} \frac{\pi}{2}$ . Donc

$x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=} n\pi+ \frac{\pi}{2}+o(1)$ .

Posons $y_n = x_n-n\pi- \frac{\pi}{2}$ . Alors d’après ce qui précède, $y_n\in\left]- \frac{\pi}{2},0\right[$ et $y_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=} o(1)$ . De plus, l’égalité $\tan(x_n)=x_n$ fournit $\tan(n\pi+ \frac{\pi}{2}+y_n) =n\pi+ \frac{\pi}{2}+y_n$ ou encore

$n\pi+ \frac{\pi}{2}+y_n = -\mathrm{cotan}(y_n)$ .

Puisque $y_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o(1)$ , on obtient $n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}- \frac{1}{y_n}$ ou encore $y_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=} - \frac{1}{n\pi}+o\left( \frac{1}{n}\right)$ . Donc

$x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=} n\pi+ \frac{\pi}{2}- \frac{1}{n\pi}+o\left( \frac{1}{n}\right)$ .

Posons $z_n = y_n+ \frac{1}{n\pi}= x_n-n\pi- \frac{\pi}{2}+ \frac{1}{n\pi}$ . D’après ce qui précède, $\tan\left(- \frac{1}{n\pi}+z_n\right)=- \frac{1}{n\pi+ \frac{\pi}{2}- \frac{1}{n\pi}+z_n}$ et aussi $z_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o\left( \frac{1}{n}\right)$ . On en déduit que

$z_n= \frac{1}{n\pi}-\Arctan\left( \frac{1}{n\pi+ \frac{\pi}{2}- \frac{1}{n\pi}+z_n}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=} \frac{1}{n\pi}-\Arctan\left( \frac{1}{n\pi}- \frac{1}{2\pi n^2}+o\left( \frac{1}{n^2}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=} \frac{1}{2\pi n^2}+o\left( \frac{1}{n^2}\right)$ .

Finalement

$x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=} n\pi+ \frac{\pi}{2}- \frac{1}{n\pi}+ \frac{1}{2\pi n^2}+o\left( \frac{1}{n^2}\right)$ .

exo7 5852