Il faut prendre garde au fait que les nombres $x_k=\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})$ ne sont pas nécessairement deux à deux distincts.

1er cas. Si $n$ est pair, posons $n=2p$ , $p\in\Nn^*$ .

$\begin{align*}\ensuremath S_n&=\sum_{k=0}^{p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p})+\sum_{k=p}^{2p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p})\\ &=\sum_{k=0}^{p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p})+\sum_{k=0}^{p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{(2p-1-k)\pi}{2p}) \end{align*}$

Or, $\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{(2p-1-k)\pi}{2p})=\cotan^2(\pi-\frac{\pi}{4p}-\frac{k\pi}{2p})=\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p})$ et donc $S_n=2\sum_{k=0}^{p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p})$ .

Mais cette fois ci,

$0\leq k\leq p-1\Rightarrow 0<\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p}\leq\frac{\pi}{4p}+\frac{(p-1)\pi}{2p}=\frac{(2p-1)\pi}{4p}<\frac{2p\pi}{4p}=\frac{\pi}{2}.$

et comme, la fonction $x\mapsto\cotan^2x$ est strictement décroissante sur $]0,\frac{\pi}{2}[$ , les $x_k$ , $0\leq k\leq p-1$ , sont deux à deux distincts.

Pour $0\leq k\leq p-1$ , posons $y_k=\cotan(\frac{\pi}{4p}+\frac{k\pi}{2p})$ .

$\begin{align*}\ensuremath y_k&=i\frac{e^{(2k+1)i\pi/4p}+1}{e^{(2k+1)i\pi/4p}-1}\Rightarrow e^{(2k+1)i\pi/4p}(y-k-i)=y_k+i\\ &\Rightarrow(y_k+i)^{2p}=e^{(2k+1)i\pi}(y_k-i)^{2p}=(-1)^{2k+1}(y_k-i)^{2p}=-(y_k-i)^{2p}\\ &\Rightarrow(y_k+i)^{2p}+(y_k-i)^{2p}=0\Rightarrow2(y_k^{2p}-C_{2p}^2y_k^{2p-2}+...+(-1)^p)=0\\ &\Rightarrow x_k^p-C_{2p}^2x_k^{p-1}+...+(-1)^p=0. \end{align*}$

Les $p$ nombres deux à deux distincts $x_k$ sont racines de l’équation de degré $p$ : $z^p-C_{2p}^{2}z^{p-1}+...+(-1)^p=0$ qui est de degré $p$ . On en déduit que

$S_n=2\sum_{k=0}^{p-1}x_k=2C_{2p}^{2}=n(n-1).$
2ème cas. Si $n$ est impair, posons $n=2p+1$ , $p\in\Nn$ .

$\begin{align*}\ensuremath S_n&=\sum_{k=0}^{p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2(2p+1)}+\frac{k\pi}{2p+1})+\cotan^2\frac{\pi}{2}+\sum_{k=p+1}^{2p}\cotan^2(\frac{\pi}{2(2p+1)}+\frac{k\pi}{2p+1})\\ &=2\sum_{k=0}^{p-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2(2p+1)}+\frac{k\pi}{2p+1}) \end{align*}$

La même démarche amène alors à $S_n=2C_{2p+1}^{2}=n(n-1)$ .

Dans tous les cas,

$\sum_{k=0}^{n-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})=n(n-1).$

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