La fonction \(x\mapsto\Arcsin\sqrt{1-x^2}\) est définie et continue sur \([-1,1]\), dérivable sur \([-1,1]\setminus\{0\}\) car pour \(x\) élément de \([-1,1]\), \(1-x^2\) est élément de \([0,1]\) et vaut \(1\) si et seulement si \(x\) vaut \(0\). \(\frac{1-x}{1+x}\) est défini et positif si et seulement si \(x\) est dans \(]-1,1]\), et nul si et seulement si \(x=1\). \(f_3\) est donc définie et continue sur \(]-1,1]\), dérivable sur \(]-1,0[\cup]0,1[\). Pour \(x\) dans \(]-1,0[\cup]0,1[\), on note \(\varepsilon\) le signe de \(x\) et on a :

\[f_3'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}}-\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\frac{1}{1+\frac{1-x}{1+x}}=-\frac{\varepsilon}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\frac{1 }{\sqrt{1-x^2}}.\] Si \(x\) est dans \(]0,1[\), \(f_3'(x)=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(-\frac{1}{2}\Arcsin)'(x)\). Donc, il existe un réel \(C\) tel que, pour tout \(x\) de \([0,1]\) (par continuité) \(f_3(x)=-\frac{1}{2}\Arcsin x+C\). \(x=1\) fournit \(C=\frac{\pi}{4}\). Donc,

Si \(x\) est dans \(]-1,0[\), \(f_3'(x)=\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(\frac{3}{2}\Arcsin)'(x)\). Donc il existe un réel \(C'\) tel que, pour tout \(x\) de \(]-1,0]\) (par continuité) \(f_3(x)=\frac{3}{2}\Arcsin x+C'\). \(x=0\) fournit \(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=C'\). Donc,

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