1ère solution. Pour tout réel $x$ , $-1<-1+\frac{2}{1+x^2}=\frac{1-x^2}{1+x^2}\leq-1+2=1$ (avec égalité si et seulement si $x=0$ ). $f_2$ est donc définie et continue sur $\Rr$ , dérivable sur $\Rr^*$ . Pour tout réel $x$ non nul,

$f_2'(x)=\frac{-2x(1+x^2)-2x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\frac{-1}{\sqrt{1-\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)^2}}=\frac{4x}{1+x ^2}\frac{1}{\sqrt{4x^2}}=\frac{2\varepsilon}{1+x^2}$ où $\varepsilon$ est le signe de $x$ . Donc il existe une constante réelle $C$ telle que pour tout réel positif $x$ , $f_2(x)=2\Arctan x+C$ (y compris $x=0$ puisque $f$ est continue en $0$ ).
$x= 0$ fournit $C=0$ et donc, pour tout réel positif $x$ , $f_2(x)=2\Arctan x$ . Par parité,

$\forall x\in\Rr,\;\Arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)=2\Arctan|x|.$

2ème solution. Soit $x\in\Rr$ puis $\theta=\Arctan x$ . $\theta$ est dans $\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ et $x=\tan\theta$ .

$\frac{1-x^2}{1+x^2}=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=\cos^2\theta(1-\tan^2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta= \cos(2\theta).$ Donc

$f_2(x)=\Arccos(\cos(2\theta))=\left\{ \begin{array}{l} 2\theta\;\mbox{si}\;\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\\ -2\theta\;\mbox{si}\;\theta\in\left]-\frac{\pi}{2},0\right] \end{array} \right. =\left\{ \begin{array}{l} 2\Arctan x\;\mbox{si}\;x\geq0\\ -2\Arctan x\;\mbox{si}\;x\leq0 \end{array} \right.=2\Arctan|x|.$

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