Soit \(x\) un réel.

\[S=\sum_{k=1}^{100}\sh(2+kx)=\frac{1}{2}\left(e^2\sum_{k=1}^{100}e^{kx}-e^{-2}\sum_{k=1}^{100}e^{-kx}\right).\] Si \(x=0\) alors directement \(S=100\sh2\neq0\). Si \(x\neq0\) alors \(e^x\neq1\) et \(e^{-x}\neq1\). Dans ce cas,

\[S=\frac{1}{2}\left(e^2e^x\frac{1-e^{100x}}{1-e^x}-e^{-2}e^{-x}\frac{1-e^{-100x}}{1-e^{-x}}\right)=\frac{1}{2}\left(e^2e^x \frac{1-e^{100x}}{1-e^x}+e^{-2}\frac{1-e^{-100x}}{1-e^{x}}\right).\] après multiplication du numérateur et du dénominateur de la deuxième fraction par \(e^x\). Pour \(x\neq0\), on a donc : \[\begin{align*} S=0&\Leftrightarrow e^{x+2}(1-e^{100x})+ e^{-2}(1-e^{-100x})=0\Leftrightarrow e^{x+2}(1-e^{100x})+e^{-2-100x}(e^{100x}-1)=0\\ &\Leftrightarrow(1-e^{100x})(e^{x+2}-e^{-100x-2})=0\Leftrightarrow e^{x+2}=e^{-100x-2}\;(\mbox{car}\; x\neq0)\\ &\Leftrightarrow x+2=-100x-2\Leftrightarrow x=-\frac{4}{101}. \end{align*}\]

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