Soit $x$ un réel.

$S=\sum_{k=1}^{100}\sh(2+kx)=\frac{1}{2}\left(e^2\sum_{k=1}^{100}e^{kx}-e^{-2}\sum_{k=1}^{100}e^{-kx}\right).$ Si $x=0$ alors directement $S=100\sh2\neq0$ . Si $x\neq0$ alors $e^x\neq1$ et $e^{-x}\neq1$ . Dans ce cas,

$S=\frac{1}{2}\left(e^2e^x\frac{1-e^{100x}}{1-e^x}-e^{-2}e^{-x}\frac{1-e^{-100x}}{1-e^{-x}}\right)=\frac{1}{2}\left(e^2e^x \frac{1-e^{100x}}{1-e^x}+e^{-2}\frac{1-e^{-100x}}{1-e^{x}}\right).$ après multiplication du numérateur et du dénominateur de la deuxième fraction par $e^x$ . Pour $x\neq0$ , on a donc : $\begin{align*} S=0&\Leftrightarrow e^{x+2}(1-e^{100x})+ e^{-2}(1-e^{-100x})=0\Leftrightarrow e^{x+2}(1-e^{100x})+e^{-2-100x}(e^{100x}-1)=0\\ &\Leftrightarrow(1-e^{100x})(e^{x+2}-e^{-100x-2})=0\Leftrightarrow e^{x+2}=e^{-100x-2}\;(\mbox{car}\; x\neq0)\\ &\Leftrightarrow x+2=-100x-2\Leftrightarrow x=-\frac{4}{101}. \end{align*}$

$\mathcal{S}=\left\{-\frac{4}{101}\right\}.$

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