Par la formule du binôme de Newton nous avons \(\ch^3 x = \left( \frac{e^x+e^{-x}}{2} \right)^3 = \frac18 \left( e^{3x} +3 e^x + 3e^{-x} + e^{-3x} \right)\). Et de même \(\sh^3 x = \left( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right)^3 = \frac18 \left( e^{3x} - 3 e^x + 3e^{-x} - e^{-3x} \right)\). Donc \(e^{-x} (\ch ^{3}x-\sh ^{3}x) = \frac 18 e^{-x} (6 e^x + 2 e^{-3x}) = \frac 34 + \frac 14 e^{-4x}\) qui tend vers \(\frac 34\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). \(x- \ln(\ch x) = x - \ln(\frac{e^x + e^{-x}}{2}) = x - \ln(e^x + e^{-x}) + \ln 2 = x - \ln(e^x(1+e^{-2x})) + \ln 2 = x - x + \ln(1+e^{-2x}) + \ln 2 = \ln(1+e^{-2x}) + \ln 2\). Lorsque \(x\rightarrow +\infty\), \(\ln(1+e^{-2x}) \rightarrow 0\) donc \(x- \ln(\ch x)\rightarrow \ln 2\).

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