Soit $x\in\Rr$ .

$\begin{align*} \Argth\sqrt{\frac{\ch x-1}{\ch x+1}}\;\mbox{existe}&\Leftrightarrow\ch x+1\neq0\;\mbox{et}\;\frac{\ch x-1}{\ch x+1}\geq0\;\mbox{et}\;\sqrt{\frac{\ch x-1}{\ch x+1}}\in]-1,1[\\ &\Leftrightarrow\frac{\ch x-1}{\ch x+1}\in[0,1[ \end{align*}$ Mais, d’une part, $\frac{\ch x-1}{\ch x+1}\geq0$ et d’autre part, $\frac{\ch x-1}{\ch x+1}=\frac{\ch x+1-2} {\ch x+1}=1-\frac{2}{\ch x+1}<1$ . L’expression proposée existe donc pour tout réel $x$ et est paire. Ensuite, pour $x$ réel positif, on a

$\begin{align*} \frac{1+\sqrt{\frac{\ch x-1}{\ch x+1}}}{1-\sqrt{\frac{\ch x-1}{\ch x+1}}} &=\frac{\sqrt{\ch x+1}+\sqrt{\ch x-1}}{\sqrt{\ch x+1}-\sqrt{\ch x-1}}= \frac{(\sqrt{\ch x+1}+\sqrt{\ch x-1})^2}{(\ch x+1)-(\ch x-1)}=\frac{2\ch x+2\sqrt{\ch^2x-1}}{2}\\ &=\ch x+\sqrt{\sh^2x}=\ch x+|\sh x|=\ch x+\sh x=e^x \end{align*}$ Par suite, $x$ étant toujours positif,

$\Argth\sqrt{\frac{\ch x-1}{\ch x+1}}=\frac{1}{2}\ln(e^x)=\frac{x}{2}.$ Par parité, on a alors

$\forall x\in\Rr,\;\Argth\left(\sqrt{\frac{\ch x-1}{\ch x+1}}\right)=\frac{|x|}{2}.$

(Remarque. Pour 5), 6) et 7), on peut aussi dériver chaque expression)

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