1ère solution. Posons \(f(x)=\Arccos x+\Arcsin x\) pour \(x\) dans \([-1,1]\). \(f\) est définie et continue sur \([-1,1]\), dérivable sur \(]-1,1[\). De plus, pour \(x\) dans \(]-1,1[\),

\[f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}= 0.\] Donc \(f\) est constante sur \([-1,1]\) et pour \(x\) dans \([-1,1]\), \(f(x)=f(0)=\frac{\pi}{2}\).

2ème solution. Il existe un unique réel \(\theta\) dans \([0,\pi]\) tel que \(x=\cos\theta\), à savoir \(\theta=\Arccos x\). Mais alors,

\[\Arccos x+\Arcsin x=\theta+\Arcsin\left(\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)\right) =\theta+\frac{\pi}{2}-\theta=\frac{\pi}{2}\] (car \(\frac{\pi}{2}-\theta\) est dans \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])\). 1ère solution. Pour \(x\) réel non nul, posons \(f(x)=\Arctan x+\Arctan\frac{1}{x}\). \(f\) est impaire. \(f\) est dérivable sur \(\Rr^*\) et pour tout réel \(x\) non nul, \(f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=0\). \(f\) est donc constante sur \(]-\infty,0[\) et sur \(]0,+\infty[\) (mais pas nécessairement sur \(\Rr^*\)). Donc, pour \(x>0\), \(f(x)=f(1)=2\Arctan1=\frac{\pi}{2}\), et puisque \(f\) est impaire, pour \(x< 0\), \(f(x)=-f(-x)=-\frac{\pi}{2}\). Donc,

2ème solution Pour \(x\) réel strictement positif donné, il existe un unique réel \(\theta\) dans \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) tel que \(x=\tan\theta\) à savoir \(\theta=\Arctan x\). Mais alors,

\[\Arctan x+\Arctan\frac{1}{x}=\theta+\Arctan\left(\frac{1}{\tan\theta}\right) =\theta+\Arctan\left(\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)\right) =\theta+\frac{\pi}{2}-\theta=\frac{\pi}{2}\] (car \(\theta\) et \(\frac{\pi}{2}-\theta\) sont éléments de \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[)\). \(\cos^2(\Arctan a)=\frac{1}{1+\tan^2(\Arctan a)}=\frac{1}{1+a^2}\). De plus , \(\Arctan a\) est dans \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) et donc \(\cos(\Arctan a)>0\). On en déduit que pour tout réel \(a\), \(\cos(\Arctan a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\) puis

\[\sin(\Arctan a)=\cos(\Arctan a)\tan(\Arctan a)=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}.\]

D’après 3),

\[\cos(\Arctan a+\Arctan b)=\cos(\Arctan a)\cos(\Arctan b)-\sin(\Arctan a)\sin(\Arctan b)=\frac{1-ab}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}},\] ce qui montre déjà , puisque \(ab\neq1\), que \(\cos(\Arctan a+\Arctan b)\neq0\) et donc que \(\tan(\Arctan a+\Arctan b)\) existe. On a immédiatement,

\[\tan(\Arctan a+\Arctan b)=\frac{a+b}{1-ab}.\] Maintenant, \(\Arctan a+\Arctan b\) est dans \(\left]-\pi,-\frac{\pi}{2}\right[\cup\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\cup\left]\frac{\pi}{2},\pi\right[\).

Si \(ab<1\) alors \(\cos(\Arctan a+\Arctan b)>0\) et donc \(\Arctan a+\Arctan b\) est dans \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). Dans ce cas, \(\Arctan a+\Arctan b=\Arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\). [2ème cas.] Si \(ab>1\) alors \(\cos(\Arctan a+\Arctan b)<0\) et donc \(\Arctan a+\Arctan b\) est dans \(\left]-\pi,-\frac{\pi}{2}\right[\cup\left]\frac{\pi}{2},\pi\right[\). Si de plus \(a>0\), \(\Arctan a+\Arctan b>-\frac{\pi}{2}\) et donc \(\Arctan a+\Arctan b\) est dans \(\left]\frac{\pi}{2},\pi\right[\). Dans ce cas, \(\Arctan a+\Arctan b-\pi\) est dans \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\) et a même tangente que \(\Arctan\frac{a+b}{1-ab}\). Donc, \(\Arctan a+\Arctan b=\Arctan\frac{a+b}{1-ab}+\pi\). Si \(a<0\), on trouve de même \(\Arctan a+\Arctan b=\Arctan\frac{a+b}{1-ab}-\pi\).

En résumé,

exo7 5085