La fonction $\Argch$ est définie sur $[1,+\infty[$ . Or $\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\ge 1 &\Longleftrightarrow&\frac{x^2+1}{x}\ge 2\\ &\Longleftrightarrow&\frac{x^2+1-2x}{x}\ge 0\\ &\Longleftrightarrow&\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0\\ &\Longleftrightarrow& x > 0 \end{aligned}$ donc $f$ est définie sur $]0,+\infty[$ .

Soit $x>0$ , alors $y=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\ge 1$ et on sait que $\Argch y=\ln(y+\sqrt{y^2-1})$ . Ainsi $\sqrt{y^2-1}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-1} =\sqrt{\frac{(x^2+1)^2}{4x^2}-1}=\sqrt{\frac{(x^2-1)^2}{4x^2}} =\left|\frac{x^2-1}{2x}\right|$ , on obtient $f(x)=\Argch y=\ln(y+\sqrt{y^2-1})=\ln\left(\frac{x^2+1}{2x}+\left|\frac{x^2-1}{2x}\right|\right)$

On a supposé $x>0$ , il suffit donc de distinguer les cas $x\ge 1$ et $0<x\le 1$ .

Si $x\ge 1$ , $\displaystyle f(x)=\ln\left(\frac{x^2+1}{2x}+\frac{x^2-1}{2x}\right)=\ln x$ .
Si $0<x\le 1$ , $\displaystyle f(x)=\ln\left(\frac{x^2+1}{2x}+\frac{1-x^2}{2x}\right)=\ln \frac{1}{x}=-\ln x$ .

Puisque $\ln x$ est positif si $x\ge 1$ et négatif si $x\le 1$ , on obtient dans les deux cas $f(x)=|\ln x|$ .

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