La fonction \(\Argch\) est définie sur \([1,+\infty[\). Or \[\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\ge 1 &\Longleftrightarrow&\frac{x^2+1}{x}\ge 2\\ &\Longleftrightarrow&\frac{x^2+1-2x}{x}\ge 0\\ &\Longleftrightarrow&\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0\\ &\Longleftrightarrow& x > 0 \end{aligned}\] donc \(f\) est définie sur \(]0,+\infty[\).

Soit \(x>0\), alors \(y=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\ge 1\) et on sait que \(\Argch y=\ln(y+\sqrt{y^2-1})\). Ainsi \(\sqrt{y^2-1}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-1} =\sqrt{\frac{(x^2+1)^2}{4x^2}-1}=\sqrt{\frac{(x^2-1)^2}{4x^2}} =\left|\frac{x^2-1}{2x}\right|\), on obtient \[f(x)=\Argch y=\ln(y+\sqrt{y^2-1})=\ln\left(\frac{x^2+1}{2x}+\left|\frac{x^2-1}{2x}\right|\right)\]

On a supposé \(x>0\), il suffit donc de distinguer les cas \(x\ge 1\) et \(0<x\le 1\).

Si \(x\ge 1\), \(\displaystyle f(x)=\ln\left(\frac{x^2+1}{2x}+\frac{x^2-1}{2x}\right)=\ln x\).
Si \(0<x\le 1\), \(\displaystyle f(x)=\ln\left(\frac{x^2+1}{2x}+\frac{1-x^2}{2x}\right)=\ln \frac{1}{x}=-\ln x\).

Puisque \(\ln x\) est positif si \(x\ge 1\) et négatif si \(x\le 1\), on obtient dans les deux cas \(f(x)=|\ln x|\).

exo7 6979