$x^y=y^x \Leftrightarrow e^{y\ln x}= e^{x\ln y} \Leftrightarrow {y\ln x}= {x\ln y}\Leftrightarrow \frac{\ln x}{x}= \frac{\ln y}{y}$ (la fonction exponentielle est bijective). Etudions la fonction $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ sur $[1,+\infty[$ . $f'(x)= \frac{1-\ln x}{x^2},$ donc $f$ est croissante sur $[1,e]$ et décroissante sur $[e,+\infty[$ . Donc pour $z \in ]0,f(e)[=]0,1/e[$ , l’équation $f(x)=z$ a exactement deux solutions, une dans $]1,e[$ et une dans $]e,+\infty[$ .

Revenons à l’équation $x^y=y^x$ équivalente à $f(x)=f(y)$ . Prenons $y$ un entier, nous allons distinguer trois cas : $y=1$ , $y=2$ et $y \geq 3$ . Si $y=1$ alors $f(y)=z=0$ on doit donc résoudre $f(x)=0$ et alors $x=1$ . Si $y=2$ alors il faut résoudre l’équation $f(x) = \frac{\ln 2}{2} \in ]0,1/e[$ . Alors d’après l’étude précédente, il existe deux solutions une sur $]0,e[$ qui est $x=2$ (!) et une sur $]e,+\infty[$ qui est $4$ , en effet $\frac {\ln 4}4= \frac {\ln 2}2$ . Nous avons pour l’instant les solutions correspondant à $2^2=2^2$ et $2^4=4^2$ .

Si $y \geq 3$ alors $y> e$ donc il y a une solution $x$ de l’équation $f(x)=f(y)$ dans $]e,+\infty[$ qui est $x=y$ , et une solution $x$ dans l’intervalle $]1,e[$ . Mais comme $x$ est un entier alors $x=2$ (c’est le seul entier appartenant à $]1,e[$ ) c’est un cas que nous avons déjà étudié conduisant à $4^2 = 2^4$ .

Conclusion : les couples d’entiers qui vérifient l’équation $x^y=y^x$ sont les couples $(x,y=x)$ et les couples $(2,4)$ et $(4,2)$ .

exo7 776