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Montrer que pour tout réel $x$ non nul, on a : $\tanh x=\frac{2}{\tanh(2x)}-\frac{1}{\tanh x}$.

En déduire la valeur de $u_n=2^0\tanh(2^0x)+2^1\tanh(2^1x)+ \cdots +2^{n}\tanh(2^{n}x)$ pour $n$ entier naturel non nul et $x$ réel non nul donnés puis calculer la limite de $(u_n)$.