Par définition des fonctions \(\ch\) et \(\sh\), on a \[\begin{aligned} 2\ch^2(x)-\sh(2x)&=&2\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2-\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\\ &=&\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{2}+\frac{e^{-2x}-e^{2x}}{2}\\ &=&1+e^{-2x}\end{aligned}\]

Et en utilisant les deux relations \(\ln(ab)=\ln a + \ln b\) et \(\ln(e^x) = x\) on calcule : \[\begin{aligned} x-\ln(\ch x)-\ln 2 &=& x-\ln\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)-\ln 2\\ &=& x-\ln(e^x+e^{-x}) + \ln 2 - \ln 2\\ &=& x-\ln\big(e^x(1+e^{-2x})\big)\\ &=& x-\ln(e^x)-\ln(1+e^{-2x})\\ &=& x-x-\ln(1+e^{-2x})\\ &=& -\ln(1+e^{-2x})\\\end{aligned}\] d’où \[\frac{2\ch^2(x)-\sh(2x)}{x-\ln(\ch x)-\ln 2}=-\frac{1+e^{-2x}}{\ln(1+e^{-2x})}\] C’est une expression de la forme \(-\frac{u}{\ln u}\) avec \(u=1+e^{-2x}\) :

si \(x\to +\infty\), alors \(u\to 1^+\), \(\frac{1}{\ln u} \to +\infty\) donc \(-\frac{u}{\ln u}\to -\infty\) ;
si \(x\to -\infty\), alors \(u\to +\infty\) donc d’après les relations de croissances comparées, \(-\frac{u}{\ln u}\to -\infty\).

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