Par définition des fonctions $\ch$ et $\sh$ , on a $\begin{aligned} 2\ch^2(x)-\sh(2x)&=&2\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2-\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\\ &=&\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{2}+\frac{e^{-2x}-e^{2x}}{2}\\ &=&1+e^{-2x} \end{aligned}$

Et en utilisant les deux relations $\ln(ab)=\ln a + \ln b$ et $\ln(e^x) = x$ on calcule : $\begin{aligned} x-\ln(\ch x)-\ln 2 &=& x-\ln\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)-\ln 2\\ &=& x-\ln(e^x+e^{-x}) + \ln 2 - \ln 2\\ &=& x-\ln\big(e^x(1+e^{-2x})\big)\\ &=& x-\ln(e^x)-\ln(1+e^{-2x})\\ &=& x-x-\ln(1+e^{-2x})\\ &=& -\ln(1+e^{-2x})\\ \end{aligned}$ d’où $\frac{2\ch^2(x)-\sh(2x)}{x-\ln(\ch x)-\ln 2}=-\frac{1+e^{-2x}}{\ln(1+e^{-2x})}$ C’est une expression de la forme $-\frac{u}{\ln u}$ avec $u=1+e^{-2x}$ :

si $x\to +\infty$ , alors $u\to 1^+$ , $\frac{1}{\ln u} \to +\infty$ donc $-\frac{u}{\ln u}\to -\infty$ ;
si $x\to -\infty$ , alors $u\to +\infty$ donc d’après les relations de croissances comparées, $-\frac{u}{\ln u}\to -\infty$ .

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