Une solution est nécessairement dans $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ . Soit donc $x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ .

$\begin{align*} \Arcsin(2x)=\Arcsin x+\Arcsin(x\sqrt{2})&\Rightarrow\sin(\Arcsin(2x))=\sin(\Arcsin x+\Arcsin(x\sqrt{2}))\\ &\Leftrightarrow2x=x\sqrt{1-(x\sqrt{2})^2}+x\sqrt{2}\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;\sqrt{1-2x^2}+\sqrt{2-2x^2}=2\\ &\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;1-2x^2+2-2x^2+2\sqrt{(1-2x^2)(2-2x^2)}=4\\ &\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;2\sqrt{(1-2x^2)(2-2x^2)}=1+4x^2\\ &\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;4(4x^4-6x^2+2)=(4x^2+1)^2\\ &\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;32x^2=7\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;x=\sqrt{\frac{7}{32}}\;\mbox{ou}\;x=-\sqrt{\frac{7}{32}}\\ \end{align*}$ Réciproquement, pour chacun des ces trois nombres $x$ , la seule implication écrite est une équivalence si $x$ est dans $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ (ce qui est le cas puisque $\left(\pm\sqrt{\frac{7}{32}}\right)^2=\frac{14}{64}\leq\frac{16}{64}=(\frac{1}{2})^2$ ) et $\Arcsin x+\Arcsin(x\sqrt{2})$ est dans $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ . Mais,

$\begin{align*} 0 &\leq \Arcsin\sqrt{\frac{7}{32}}+\Arcsin(\sqrt{\frac{7}{32}}\sqrt{2}) \\ &= \Arcsin\sqrt{\frac{7}{32}}+\Arcsin\sqrt{\frac {7}{16}} \\ &\leq 2\Arcsin\sqrt{\frac{8}{16}} \\ &= 2\Arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{\pi}{2} \end{align*}$ et donc $\Arcsin\sqrt{\frac{7}{32}}+\Arcsin(\sqrt{\frac{7}{32}}\sqrt{2}\in[0,\frac{\pi}{2}]$ . De même, par parité, $\Arcsin(-\sqrt{\frac{7}{32}})+\Arcsin(-\sqrt{\frac{7}{32}}\sqrt{2})\in[-\frac{\pi}{2},0]$ ce qui achève la résolution.

$\mathcal{S}=\left\{0,\frac{\sqrt{14}}{8},-\frac{\sqrt{14}}{8}\right\}.$

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