Posons \(\chi_f =\prod_{k=1}^{p}(\lambda_k-X)^{\alpha_k}\) où \(\lambda_1\),..., \(\lambda_p\) sont les valeurs propres deux à deux distinctes de \(f\).

Soit \(E_k'=\text{Ker}(f-\lambda_kId)^{\alpha_k}\) le sous-espace caractéristique de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda_k\), \(1\leqslant k\leqslant p\). D’après le théorème de décomposition des noyaux, \(E = E_1'\oplus...\oplus E_p'\). De plus, si \(f_k\) est la restriction de \(f\) à \(E_k'\) alors \(f_k\) est un endomorphisme de \(E_k'\) (car \(f\) et \((f-\lambda_kId)^{\alpha_k}\) commutent).

On note que \((f_k-\lambda_k)^{\alpha_k} = 0\) et donc \(\lambda_k\) est l’unique valeur propre de \(f_k\) car toute valeur propre de \(f_k\) est racine du polynôme annulateur \((X-\lambda_k)^{\alpha_k}\).

Existence de \(d\) et \(n\). On définit \(d\) par ses restrictions \(d_k\) aux \(E_k'\), \(1\leqslant k\leqslant p\) : \(d_k\) est l’homothétie de rapport \(\lambda_k\). Puis on définit \(n\) par \(n = f-d\).

\(d\) est diagonalisable car toute base de \(E\) adaptée à la décomposition \(E = E_1'\oplus...\oplus E_p'\) est une base de vecteurs propres de \(d\). De plus, \(f= d+n\).

Soit \(n_k\) la restriction de \(n\) à \(E_k'\). On a \(n_k = f_k-\lambda_kId_{E_k'}\) et par définition de \(E_k'\), \(n_k^{\alpha_k}= 0\). Mais alors, si on pose \(\alpha=\text{Max}\{\alpha_1,...,\alpha_p\}\), on a \(n_k^\alpha= 0\) pour tout \(k\) de \(\{1,...,p\}\) et donc \(n^\alpha= 0\). Ainsi, \(n\) est nilpotent. Enfin, pour tout \(k\in\llbracket1,p\rrbracket\), \(n_k\) commute avec \(d_k\) car \(d_k\) est une homothétie et donc \(nd = dn\).

Unicité de \(d\) et \(n\). Supposons que \(f=d+n\) avec \(d\) diagonalisable, \(n\) nilpotent et \(nd=dn\).

\(d\) commute avec \(n\) et donc avec \(f\) car \(df= d^2+dn = d^2+nd = fd\). Mais alors, \(n=f-d\) commute également avec \(f\). \(d\) et \(n\) laissent donc stables les sous-espaces caractéristiques \(E_k'\), \(1\leqslant k\leqslant p\) de \(f\). Pour \(k\in\llbracket1,p\rrbracket\), on note \(d_k\) et \(n_k\) les restrictions de \(d\) et \(n\) à \(E_k'\).

Soient \(k\in\llbracket1,p\rrbracket\) puis \(\mu\) une valeur propre de \(d_k\). D’après l’exercice [ex:rou7],

\(\text{det}(f_k-\mu Id)=\text{det}(d_k-\mu Id+n)=\text{det}(d_k-\mu Id)=0\),

car \(d_k-\mu Id\) n’est pas inversible. On en déduit que \(f_k-\mu Id\) n’est pas inversible et donc que \(\mu\) est valeur propre de \(f_k\). Puisque \(\lambda_k\) est l’unique valeur propre de \(f_k\), on a donc \(\mu=\lambda_k\). Ainsi, \(\lambda_k\) est l’unique valeur propre de \(d_k\) et puisque \(d_k\) est diagonalisable (voir l’exercice [ex:rou36]), on a nécessairement \(d_k=\lambda_kId_{E_k'}\) puis \(n_k=f_k-\lambda_k Id_{E_k'}\). Ceci montre l’unicité de \(d\) et \(n\).

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