1
Soient \(a_1,\ldots,a_n,\ b_1,\ldots,b_n \in \Rr\), les \(a_i\) n’étant pas tous nuls. Soit \(p(x) = \sum_{i=1}^n(a_i+xb_i)^2\). Montrer que le discriminant de cette équation du second degré est \(\le 0\). En déduire que : \[\left| \sum_{i=1}^n a_ib_i \right| \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right)^{1/2}\left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)^{1/2},\] et que \[\left( \sum_{i=1}^n (a_i+b_i )^2 \right)^{1/2} \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right)^{1/2} + \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)^{1/2}.\]