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Soient $a_1,\ldots,a_n,\ b_1,\ldots,b_n \in \Rr$, les $a_i$ n’étant pas tous nuls. Soit $p(x) = \sum_{i=1}^n(a_i+xb_i)^2$. Montrer que le discriminant de cette équation du second degré est $\le 0$. En déduire que : $$\left| \sum_{i=1}^n a_ib_i \right| \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right)^{1/2}\left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)^{1/2},$$ et que $$\left( \sum_{i=1}^n (a_i+b_i )^2 \right)^{1/2} \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right)^{1/2} + \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)^{1/2}.$$