Par définition d’un entier, il y a $n$ entiers entre $1$ et $n$ . Ensuite, pour tout entier naturel $k$ , on a

$1\leq k\leq x\Leftrightarrow 1\leq k\leq E(x).$

Il y a donc $E(x)$ entiers entre $1$ et $x$ . Il y a $n+1$ entiers entre $0$ et $n$ et $E(x)+1$ entiers entre $0$ et $x$ . Les entiers naturels pairs sont les entiers de la forme $2k$ , $k\in\Nn$ . Or,

$0\leq2k\leq x\Leftrightarrow 0\leq k\leq \frac{x}{2}.$

Le nombre des entiers pairs compris entre $0$ et $x$ est encore le nombre des entiers $k$ compris au sens large entre $0$ et $\frac{x}{2}$ . D’après 2), il y a $E(\frac{x}{2})+1$ entiers pairs entre $0$ et $x$ . De même, il y a $E(\frac{x}{3})+1$ multiples de $3$ entre $0$ et $x$ .

De même,

$0\leq2k+1\leq x\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\leq k\leq\frac{x-1}{2}\Leftrightarrow0\leq k\leq E(\frac{x-1}{2}).$

Il y a donc $E(\frac{x-1}{2})+1=E(\frac{x+1}{2})$ entiers impairs entre $0$ et $x$ . Il y a $E(\frac{x}{3})+1$ multiples de $3$ entre $0$ et $x$ . Soient $n\in\Nn$ et $(x,y)\in\Nn^2$ . On a

$x+2y=n\Leftrightarrow x=n-2y.$

Donc, $(x,y)$ est solution si et seulement si $y\in\Nn$ et $n-2y\in\Nn$ ou encore si et seulement si $0\leq2y\leq n$ . Il y a donc $E(\frac{n}{2})+1$ couples solutions. Si $x$ et $y$ sont respectivement le nombre de pièces de $10$ centimes d’euros et le nombre de pièces de $20$ centimes d’euros, le nombre cherché est le nombre de couples d’entiers naturels solutions de l’équation $10x+20y=1000$ qui s’écrit encore $x+2y=100$ . D’après 5), il y a $E(\frac{100}{2})+1=51$ façons de payer $10$ euros avec des pièces de $10$ et $20$ centimes d’euros. Soient $n\in\Nn$ et $(x,y)\in\Nn^2$ . On a

$2x+3y=n\Leftrightarrow x=\frac{n-3y}{2}.$

Donc,

$(x,y)\;\mbox{solution}\Leftrightarrow x=\frac{n-3y}{2}\;\mbox{et}\;y\in\Nn\;\mbox{et}\;n-3y\in2\Nn.$

Maintenant, comme $n-3y=(n-y)-2y$ et que $2y$ est un entier pair, $n-3y$ est pair si et seulement si $n-y$ est pair ce qui revient à dire que $y$ a la parité de $n$ . Ainsi,

$(x,y)\;\mbox{solution}\Leftrightarrow x=\frac{n-3y}{2}\;\mbox{et}\;y\in\Nn\;\mbox{et}\;0\leq y\leq \frac{n}{3}\;\mbox{et}\;y\;\mbox{a la parité de}\;n.$

1er cas. Si $n$ est pair, le nombre de couples solutions est encore le nombre d’entiers pairs $y$ compris au sens large entre $0$ et $\frac{n}{3}$ . Il y a $E(\frac{n}{6}))+1=E(\frac{n+6}{6})$ tels entiers.
2ème cas. Si $n$ est impair, le nombre de couples solutions est encore le nombre d’entiers impairs $y$ compris au sens large entre $0$ et $\frac{n}{3}$ . Il y a $E(\frac{\frac{n}{3}-1}{2}))+1=E(\frac{n+3}{6})$ tels entiers.

Finalement, le nombre cherché est $E(\frac{n+6}{6})$ si $n$ est pair et $E(\frac{n+3}{6})$ si $n$ est impair.

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