Par définition d’un entier, il y a \(n\) entiers entre \(1\) et \(n\). Ensuite, pour tout entier naturel \(k\), on a

\[1\leq k\leq x\Leftrightarrow 1\leq k\leq E(x).\]

Il y a donc \(E(x)\) entiers entre \(1\) et \(x\). Il y a \(n+1\) entiers entre \(0\) et \(n\) et \(E(x)+1\) entiers entre \(0\) et \(x\). Les entiers naturels pairs sont les entiers de la forme \(2k\), \(k\in\Nn\). Or,

\[0\leq2k\leq x\Leftrightarrow 0\leq k\leq \frac{x}{2}.\]

Le nombre des entiers pairs compris entre \(0\) et \(x\) est encore le nombre des entiers \(k\) compris au sens large entre \(0\) et \(\frac{x}{2}\). D’après 2), il y a \(E(\frac{x}{2})+1\) entiers pairs entre \(0\) et \(x\). De même, il y a \(E(\frac{x}{3})+1\) multiples de \(3\) entre \(0\) et \(x\).

De même,

\[0\leq2k+1\leq x\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\leq k\leq\frac{x-1}{2}\Leftrightarrow0\leq k\leq E(\frac{x-1}{2}).\]

Il y a donc \(E(\frac{x-1}{2})+1=E(\frac{x+1}{2})\) entiers impairs entre \(0\) et \(x\). Il y a \(E(\frac{x}{3})+1\) multiples de \(3\) entre \(0\) et \(x\). Soient \(n\in\Nn\) et \((x,y)\in\Nn^2\). On a

\[x+2y=n\Leftrightarrow x=n-2y.\]

Donc, \((x,y)\) est solution si et seulement si \(y\in\Nn\) et \(n-2y\in\Nn\) ou encore si et seulement si \(0\leq2y\leq n\). Il y a donc \(E(\frac{n}{2})+1\) couples solutions. Si \(x\) et \(y\) sont respectivement le nombre de pièces de \(10\) centimes d’euros et le nombre de pièces de \(20\) centimes d’euros, le nombre cherché est le nombre de couples d’entiers naturels solutions de l’équation \(10x+20y=1000\) qui s’écrit encore \(x+2y=100\). D’après 5), il y a \(E(\frac{100}{2})+1=51\) façons de payer \(10\) euros avec des pièces de \(10\) et \(20\) centimes d’euros. Soient \(n\in\Nn\) et \((x,y)\in\Nn^2\). On a

\[2x+3y=n\Leftrightarrow x=\frac{n-3y}{2}.\]

Donc,

\[(x,y)\;\mbox{solution}\Leftrightarrow x=\frac{n-3y}{2}\;\mbox{et}\;y\in\Nn\;\mbox{et}\;n-3y\in2\Nn.\]

Maintenant, comme \(n-3y=(n-y)-2y\) et que \(2y\) est un entier pair, \(n-3y\) est pair si et seulement si \(n-y\) est pair ce qui revient à dire que \(y\) a la parité de \(n\). Ainsi,

\[(x,y)\;\mbox{solution}\Leftrightarrow x=\frac{n-3y}{2}\;\mbox{et}\;y\in\Nn\;\mbox{et}\;0\leq y\leq \frac{n}{3}\;\mbox{et}\;y\;\mbox{a la parité de}\;n.\]

Si \(n\) est pair, le nombre de couples solutions est encore le nombre d’entiers pairs \(y\) compris au sens large entre \(0\) et \(\frac{n}{3}\). Il y a \(E(\frac{n}{6}))+1=E(\frac{n+6}{6})\) tels entiers. [2ème cas.] Si \(n\) est impair, le nombre de couples solutions est encore le nombre d’entiers impairs \(y\) compris au sens large entre \(0\) et \(\frac{n}{3}\). Il y a \(E(\frac{\frac{n}{3}-1}{2}))+1=E(\frac{n+3}{6})\) tels entiers.

Finalement, le nombre cherché est \(E(\frac{n+6}{6})\) si \(n\) est pair et \(E(\frac{n+3}{6})\) si \(n\) est impair.

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