Soient $A$ et $B$ deux parties bornées de $\R$ . On sait que $\sup A$ est un majorant de $A$ , c’est-à-dire, pour tout $a\in A$ , $a\leqslant \sup A$ . De même, pour tout $b\in B$ , $b\le \sup B$ . On veut montrer que $\sup A+\sup B$ est un majorant de $A+B$ . Soit donc $x\in A+B$ . Cela signifie que $x$ est de la forme $a+b$ pour un $a\in A$ et un $b\in B$ . Or $a\leqslant \sup A$ , et $b \le \sup B$ , donc $x=a+b\leqslant \sup A+\sup B$ . Comme ce raisonnement est valide pour tout $x\in A+B$ cela signifie que $\sup A+\sup B$ est un majorant de $A+B$ . On veut montrer que, quel que soit $\epsilon>0$ , $\sup A +\sup B-\epsilon$ n’est pas un majorant de $A+B$ . On prend donc un $\epsilon >0$ quelconque, et on veut montrer que $\sup A +\sup B-\epsilon$ ne majore pas $A+B$ . On s’interdit donc dans la suite de modifier $\epsilon$ . Comme $\sup A$ est le plus petit des majorants de $A$ , $\sup A-\epsilon/2$ n’est pas un majorant de $A$ . Cela signifie qu’il existe un élément $a$ de $A$ tel que $a>\sup A-\epsilon/2$ . Attention: $\sup A-\epsilon/2$ n’est pas forcément dans $A$ ; $\sup A$ non plus. De la même manière, il existe $b\in B$ tel que $b>\sup B-\epsilon/2$ . Or l’élément $x$ défini par $x=a+b$ est un élément de $A+B$ , et il vérifie $x>(\sup A-\epsilon/2)+(\sup B-\epsilon/2)=\sup A +\sup B-\epsilon.$ Ceci implique que $\sup A +\sup B-\epsilon$ n’est pas un majorant de $A+B$ . $\sup A+\sup B$ est un majorant de $A+B$ d’après la partie 1. Mais, d’après la partie 2., dès qu’on prend un $\epsilon>0$ , $\sup A+\sup B -\epsilon$ n’est pas un majorant de $A+B$ . Donc $\sup A+\sup B$ est bien le plus petit des majorants de $A+B$ , c’est donc la borne supérieure de $A+B$ . Autrement dit $\sup (A+B)= \sup A +\sup B$ .

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