On cherche les couples \((x,y) \in \bigl(\Q^{+*}\bigr)^2\) tels que \(x < y\) et \(x^y = y^x\) (\(x^y,y^x\in\R\)).
On pose \(x = \frac pq\), \(y = \frac {p'}{q'}\) (formes irréductibles), \(d = pq'\wedge p'q\),\(pq' = ad\) et \(p'q = bd\).
1
Montrer qu’il existe \(m,n\in\N^*\) tels que : \(p=m^a\), \(p'=m^b\), \(q=n^a\) et \(q'=n^b\).
2
En déduire : \(b-a = m^{b-a} - n^{b-a}\).
3
Montrer que \(b-a \le 1\) et conclure.