L1 Analyse Propriétés de R Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 3150

On cherche les couples (x,y)∈(Q+∗)2(x,y) \in \bigl(\Q^{+*}\bigr)^2 tels que x<yx < y et xy=yxx^y = y^x (xy,yx∈Rx^y,y^x\in\R).

On pose x=pqx = \frac pq, y=p′q′y = \frac {p'}{q'} (formes irréductibles), d=pq′∧p′qd = pq'\wedge p'q,pq′=adpq' = ad et p′q=bdp'q = bd.

1

Montrer qu’il existe m,n∈N∗m,n\in\N^* tels que : p=map=m^a, p′=mbp'=m^b, q=naq=n^a et q′=nbq'=n^b.

2

En déduire : b−a=mb−a−nb−ab-a = m^{b-a} - n^{b-a}.

3

Montrer que b−a≤1b-a \le 1 et conclure.

Exercice zZSw

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