L1 Analyse Propriétés de R Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 3147

Soit x∈Qx\in\Q, 0<x<10<x<1. On définit une suite (xn)(x_n) de rationnels par récurrence :

  • x0=xx_0 = x,

  • Si xnx_n existe et est non nul, soit kn∈N∗k_n \in \N^* le plus petit entier tel que 1kn≤xn\frac1{k_n}\le x_n. On pose xn+1=xn−1knx_{n+1} = x_n - \frac1{k_n},

  • Si xn=0x_n = 0, on s’arrête. Dans ce cas, x=1k0+1k1+⋯+1kn−1x = \frac 1{k_0} + \frac 1{k_1} + \dots + \frac1{k_{n-1}}.

1

Montrer que la suite est toujours finie.

2

Montrer que si ki+1k_{i+1} existe, alors ki+1>ki(ki−1)k_{i+1} > k_i(k_i-1).

3

Réciproquement, soit une décomposition : x=1n0+⋯+1npx = \frac1{n_0} + \dots + \frac1{n_p} avec ni∈N∗n_i \in \N^* et ni+1>ni(ni−1)n_{i+1} > n_i(n_i-1). Montrer que pour tout ii, on a ni=kin_i = k_i.

Exercice 6mrB

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