Soit \(x\in\Q\), \(0<x<1\). On définit une suite \((x_n)\) de rationnels par récurrence :
\(x_0 = x\),
Si \(x_n\) existe et est non nul, soit \(k_n \in \N^*\) le plus petit entier tel que \(\frac1{k_n}\le x_n\). On pose \(x_{n+1} = x_n - \frac1{k_n}\),
Si \(x_n = 0\), on s’arrête. Dans ce cas, \(x = \frac 1{k_0} + \frac 1{k_1} + \dots + \frac1{k_{n-1}}\).
1
Montrer que la suite est toujours finie.
2
Montrer que si \(k_{i+1}\) existe, alors \(k_{i+1} > k_i(k_i-1)\).
3
Réciproquement, soit une décomposition : \(x = \frac1{n_0} + \dots + \frac1{n_p}\) avec \(n_i \in \N^*\) et \(n_{i+1} > n_i(n_i-1)\). Montrer que pour tout \(i\), on a \(n_i = k_i\).