Si deux des $b_j$ sont égaux, $\mbox{det}(A)$ est nul car deux de ses colonnes sont égales. On suppose dorénavant que les $b_j$ sont deux à deux distincts. Soient $\lambda_1$ ,..., $\lambda_n$ , $n$ nombres complexes tels que $\lambda_n\neq0$ . On a

$\mbox{det}A=\frac{1}{\lambda_n}\mbox{det}(C_1,...,C_{n-1},\sum_{j=1}^{n}\lambda_jC_j)=\mbox{det}B,$ où la dernière colonne de $B$ est de la forme $(R(a_i))_{1\leq i\leq n}$ avec $R=\sum_{j=1}^{n}\frac{\lambda_j}{X+b_j}$ . On prend $R=\frac{(X-a_1)...(X-a_{n-1})}{(X+b_1)...(X+b_n)}$ . $R$ ainsi définie est irréductible (car $\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2,\;a_i\neq-b_j$ ). Les pôles de $R$ sont simples et la partie entière de $R$ est nulle. La décomposition en éléments simples de $R$ a bien la forme espérée. Pour ce choix de $R$ , puisque $R(a_1)=...=R(a_{n-1})=0$ , on obtient en développant suivant la dernière colonne

$\Delta_n=\frac{1}{\lambda_n}R(a_n)\Delta_{n-1},$ avec

$\lambda_n=\lim_{z\rightarrow -b_n}(z+bn)R(z)=\frac{(-b_n-a_1)...(-b_n-a_{n-1})}{(-b_n+b_1)...(-b_n+b_{n-1})} =\frac{(a_1+b_n)...(a_{n-1}+b_n)}{(b_n-b_1)...(b_n-b_{n-1})}.$ Donc

$\forall n\geq2,\;\Delta_n=\frac{(a_n-a_1)...(a_{n}-a_{n-1})(b_n-b_1)...(b_n-b_{n-1})} {(a_n+b_1)(a_n+b_2)...(a_n+b_n)..(a_2+b_n)(a_1+b_n)}\Delta_{n-1}.$ En réitérant et compte tenu de $\Delta_1=1$ , on obtient

$\Delta_n=\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}^{}(a_j-a_i)\prod_{1\leq i<j\leq n}^{}(b_j-b_i)}{\prod_{1\leq i,j\leq n}^{}(a_i+b_j)}=\frac{\mbox{Van}(a_1,...,a_n)\mbox{Van}(b_1,...,b_n)}{\prod_{1\leq i,j\leq n}^{}(a_i+b_j)}.$

Dans le cas particulier où $\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;a_i=b_i=i$ , en notant $H_n$ le déterminant (de Hilbert) à calculer : $H_n=\frac{\mbox{Van}(1,2,...,n)^2}{\prod_{1\leq i,j\leq n}^{}(i+j)}$ . Mais,

$\prod_{1\leq i,j\leq n}^{}(i+j)=\prod_{i=1}^{n}\left(\prod_{j=1}^{n}(i+j)\right)=\prod_{i=1}^{n}\frac{(n+i)!}{i!} =\frac{\prod_{k=1}^{2n}k!}{\left(\prod_{k=1}^{n}k!\right)^2},$ et d’autre part,

$\mbox{Van}(1,2,...,n)=\prod_{1\leq i<j\leq n}^{}(j-i)=\prod_{i=1}^{n-1}\left(\prod_{j=i+1}^{n}(j-i)\right)=\prod_{i=1}^{n-1}(n-i)!=\frac{1}{n!}\prod_{k=1}^{n}k!.$ Donc,

$\forall n\geq 1,\;H_n=\frac{\left(\prod_{k=1}^{n}k!\right)^3}{n!^2\times\prod_{k=1}^{2n}k!}$ .

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