Si deux des \(b_j\) sont égaux, \(\mbox{det}(A)\) est nul car deux de ses colonnes sont égales. On suppose dorénavant que les \(b_j\) sont deux à deux distincts. Soient \(\lambda_1\),..., \(\lambda_n\), \(n\) nombres complexes tels que \(\lambda_n\neq0\). On a

\[\mbox{det}A=\frac{1}{\lambda_n}\mbox{det}(C_1,...,C_{n-1},\sum_{j=1}^{n}\lambda_jC_j)=\mbox{det}B,\] où la dernière colonne de \(B\) est de la forme \((R(a_i))_{1\leq i\leq n}\) avec \(R=\sum_{j=1}^{n}\frac{\lambda_j}{X+b_j}\). On prend \(R=\frac{(X-a_1)...(X-a_{n-1})}{(X+b_1)...(X+b_n)}\). \(R\) ainsi définie est irréductible (car \(\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2,\;a_i\neq-b_j\)). Les pôles de \(R\) sont simples et la partie entière de \(R\) est nulle. La décomposition en éléments simples de \(R\) a bien la forme espérée. Pour ce choix de \(R\), puisque \(R(a_1)=...=R(a_{n-1})=0\), on obtient en développant suivant la dernière colonne

\[\Delta_n=\frac{1}{\lambda_n}R(a_n)\Delta_{n-1},\] avec

\[\lambda_n=\lim_{z\rightarrow -b_n}(z+bn)R(z)=\frac{(-b_n-a_1)...(-b_n-a_{n-1})}{(-b_n+b_1)...(-b_n+b_{n-1})} =\frac{(a_1+b_n)...(a_{n-1}+b_n)}{(b_n-b_1)...(b_n-b_{n-1})}.\] Donc

\[\forall n\geq2,\;\Delta_n=\frac{(a_n-a_1)...(a_{n}-a_{n-1})(b_n-b_1)...(b_n-b_{n-1})} {(a_n+b_1)(a_n+b_2)...(a_n+b_n)..(a_2+b_n)(a_1+b_n)}\Delta_{n-1}.\] En réitérant et compte tenu de \(\Delta_1=1\), on obtient

Dans le cas particulier où \(\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;a_i=b_i=i\), en notant \(H_n\) le déterminant (de Hilbert) à calculer : \(H_n=\frac{\mbox{Van}(1,2,...,n)^2}{\prod_{1\leq i,j\leq n}^{}(i+j)}\). Mais,

\[\prod_{1\leq i,j\leq n}^{}(i+j)=\prod_{i=1}^{n}\left(\prod_{j=1}^{n}(i+j)\right)=\prod_{i=1}^{n}\frac{(n+i)!}{i!} =\frac{\prod_{k=1}^{2n}k!}{\left(\prod_{k=1}^{n}k!\right)^2},\] et d’autre part,

\[\mbox{Van}(1,2,...,n)=\prod_{1\leq i<j\leq n}^{}(j-i)=\prod_{i=1}^{n-1}\left(\prod_{j=i+1}^{n}(j-i)\right)=\prod_{i=1}^{n-1}(n-i)!=\frac{1}{n!}\prod_{k=1}^{n}k!.\] Donc,

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