L2 Algèbre Déterminant, système linéaire Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa BCPST 4 questions

exo7 1175

Pour tout $a$ réel, on considère la matrice $A$ et le système linéaire $(S)$ définis par : $A=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \cr 1 & a & 1 & 1 \cr 1 & 1 & a & 1 \cr 1 & 1 & 1 & a \cr \end{pmatrix} \hskip10mm (S)\hskip2mm \left\{ \begin{matrix} ax &+ & y & + & z & + & t & = & 1 \cr x &+ & ay & + & z & + & t & = & 1 \cr x &+ & y & + & az & + & t & = & 1 \cr x &+ & y & + & z & + & at & = & 1 \cr\end{matrix}\right.$ aux inconnues réelles $x , y , z , t .$

Discuter le rang de $A$ suivant les valeurs de $a .$

Pour quelles valeurs de $a$ le système $(S)$ est-il de Cramer ? Compatible ? Incompatible ?

Lorsqu’il est de Cramer, résoudre $(S)$ avec un minimum d’opérations (on pourra montrer d’abord que l’on a nécessairement $x=y=z=t .).$

Retrouver 3. par application des formules de Cramer.