Pour tout \(a\) réel, on considère la matrice \(A\) et le système linéaire \((S)\) définis par : \[A=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \cr 1 & a & 1 & 1 \cr 1 & 1 & a & 1 \cr 1 & 1 & 1 & a \cr \end{pmatrix} \hskip10mm (S)\hskip2mm \left\{ \begin{matrix} ax &+ & y & + & z & + & t & = & 1 \cr x &+ & ay & + & z & + & t & = & 1 \cr x &+ & y & + & az & + & t & = & 1 \cr x &+ & y & + & z & + & at & = & 1 \cr\end{matrix}\right.\] aux inconnues réelles \(x , y , z , t .\)
Discuter le rang de \(A\) suivant les valeurs de \(a .\)
Pour quelles valeurs de \(a\) le système \((S)\) est-il de Cramer ? Compatible ? Incompatible ?
Lorsqu’il est de Cramer, résoudre \((S)\) avec un minimum d’opérations (on pourra montrer d’abord que l’on a nécessairement \(x=y=z=t .).\)
Retrouver 3. par application des formules de Cramer.