Soit $D_n$ le déterminant du système pour $n\geq3$ .

En développant ce déterminant suivant sa première colonne, on obtient la relation de récurrence :

$\forall n\geq5,\;D_n=D_{n-1}-D_{n-2},$

ce qui fournit aisément par récurrence, en tenant compte de $D_3=D_4=-1$ :

$\forall k\geq1,\;D_{3k}=D_{3k+1}=(-1)^k\;\mbox{et}\;D_{3k+2}=0.$

Pour $n$ élément de $3\Nn^*\cup(1+3\Nn^*)$ , le système est de Cramer et homogène et admet donc une et une seule solution à savoir la solution nulle.

Pour $n=3k+2$ , puisque $D_n=0$ mais que le mineur de format $n-1$ constitué des $n-1$ premières lignes et colonnes est $D_{n-1}$ et est donc non nul, le système est homogène de rang $n-1$ et l’ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de $\Rr^n$ de dimension $1$ . On trouve aisément $\mathcal{S}=\{\lambda(1,-1,0,1,-1,0...,1,-1),\;;\lambda\in\Rr\}$ .

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