Soit \(D_n\) le déterminant du système pour \(n\geq3\).

En développant ce déterminant suivant sa première colonne, on obtient la relation de récurrence :

\[\forall n\geq5,\;D_n=D_{n-1}-D_{n-2},\]

ce qui fournit aisément par récurrence, en tenant compte de \(D_3=D_4=-1\) :

\[\forall k\geq1,\;D_{3k}=D_{3k+1}=(-1)^k\;\mbox{et}\;D_{3k+2}=0.\]

Pour \(n\) élément de \(3\Nn^*\cup(1+3\Nn^*)\), le système est de Cramer et homogène et admet donc une et une seule solution à savoir la solution nulle.

Pour \(n=3k+2\), puisque \(D_n=0\) mais que le mineur de format \(n-1\) constitué des \(n-1\) premières lignes et colonnes est \(D_{n-1}\) et est donc non nul, le système est homogène de rang \(n-1\) et l’ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de \(\Rr^n\) de dimension \(1\). On trouve aisément \(\mathcal{S}=\{\lambda(1,-1,0,1,-1,0...,1,-1),\;;\lambda\in\Rr\}\).

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