exo7 2108

Soit $E$ un monoı̈de unitaire. On dit qu’un élément $a$ de $E$ admet un inverse à gauche (resp. inverse à droite) s’il existe $b \in E$ tel que $ba=e$ (resp. $ab=e$).

(a) Supposons qu’un élément $a$ admette un inverse à gauche $b$ qui lui-même admet un inverse à gauche. Montrer que $a$ est inversible.

(b) Supposons que tout élément de $E$ admette un inverse à gauche. Montrer que $E$ est un groupe.