💡 Indication
Dans les calculs, on pourra utiliser une intégration par parties: \[\int_a^b u(x)v'(x) \dx= {[uv]}_a^b-\int_a^b u'(x)v(x) \dx\] ou bien se souvenir que \[\int_0^{+\infty} x^n e^{-x} \dx= n!=1\times 2\times \ldots \times n\text{.}\]
Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoire \(T\) dont une densité de probabilité est donnée par la fonction \(f_T\) définie par: \[f_T(t)=\begin{cases} 0 & \text{ si } t<0 \\ t e^{-t}& \text{ si } t\geq 0. \end{cases}\]
Soit \(X\) une variable aléatoire exponentielle de paramètre \(\lambda=1\). Donner une densité \(f_X\) de \(X\), son espérance et sa variance.
Vérifier que \(f_T\) est bien une densité de probabilité. Déterminer \(\E(T)\) et \(\V(T)\).
Démontrer que la fonction de répartition de \(T\), notée \(F_T\), est définie par: \[F_T(x)= \begin{cases} 0 \text{ si } x<0, \\ 1-(1+x)e^{-x} \text{ si } x \geq 0. \end{cases}\]
Montrer que la probabilité que le temps de passage en caisse soit inférieur à deux unités de temps sachant qu’il est supérieur à une unité, est égale à \(\frac{2e-3}{2e}\).
Un jour donné, trois clients \(A\), \(B\) et \(C\) se présentent simultanément devant deux caisses libres. Par courtoisie, \(C\) décide de laisser passer \(A\) et \(B\) et de prendre la place du premier d’entre eux qui aura terminé. On suppose que les variable aléatoires \(T_A\) et \(T_B\) correspondant aux temps de passage en caisse de \(A\) et de \(B\) sont indépendantes.
Soit \(M\) la variable aléatoire égale au temps d’attente du client \(C\). Exprimer l’événement \(\{M>x\}\) en fonction des événements \(\{T_A>x\}\) et \(\{T_B>x\}\).
En déduire une expression de la fonction de répartition \(F_M\) de \(M\), en fonction de \(F_{T_A}\) et \(F_{T_B}\).
Déterminer explicitement une densité de \(M\).