On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1, 1]\) par \(f(x) = x^3\). L’espace \(\mathcal{C}^0([-1, 1])\) est muni du produit scalaire \(\langle h, g \rangle = \int_{-1}^{1} h(x)g(x) dx\) et on note \(\|h\|^2 = \int_{-1}^{1} h(x)^2 dx\) la norme associée.
On cherche à déterminer le polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à 1 qui approche le mieux la fonction \(f\) sur l’intervalle \([-1, 1]\), au sens des moindres carrés. Autrement dit, on veut minimiser l’erreur \(\|f - P\|^2\).
1
Mettre ce problème sous la forme d’un problème de moindres carrés de dimension finie. Quelle est cette dimension ?
2
Étudier l’existence/l’unicité des solutions de ce problème.
3
Résoudre ce problème.