Soit \(N \in \mathbb{N}^*\), et \(\{(t_i, x_i)\}_{1 \leq i \leq N}\) un nuage de points. On cherche à déterminer les coefficients \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) de la parabole \(P\) d’équation \(x = \alpha t^2 + \beta t + \gamma\) (l’axe horizontal porte \(t\) et l’axe vertical porte \(x\)) qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux \(x_i - P(t_i)\) entre les points \((t_i, x_i)\) et cette parabole.
Écrire ce problème comme un problème de minimisation quadratique, c’est-à-dire un problème de la forme \[\inf_{X \in \mathbb{R}^n} J(X) \quad \text{avec} \quad J(X) = \frac{1}{2} \langle AX, X \rangle - \langle b, X \rangle,\] avec \(A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\), \(b \in \mathbb{R}^n\). On devra donc expliciter \(n\), \(A\), et \(b\). On utilisera la notation \(S_k = \sum_{i=1}^{N} t_i^k\).
Discuter de l’existence des solutions d’un tel problème.
On suppose que la matrice \(A\) est définie positive. Démontrer que ce problème possède une unique solution.
À quelle condition sur les points \(\{t_i\}_{1 \leq i \leq N}\) la matrice \(A\) est-elle définie positive ? En déduire une condition nécessaire et suffisante sur le nuage de points pour que le problème admette une unique solution.