\(y=x^2+x+1\Leftrightarrow y=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\Leftrightarrow\left(y-\frac{3}{4}\right)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\). \(\mathcal{C}\) est la parabole de sommet \(S\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right)\), d’axe focal la droite d’équation \(x=-\frac{1}{2}\), de paramètre \(p=\frac{1}{2}\) et donc de foyer \(F\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)=\left(-\frac{1}{2},1\right)\) et de directrice d’équation \(y=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\). \(y^2+y-2x=0\Leftrightarrow\left(y+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-2x=0\Leftrightarrow\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=2\left(x+\frac{1}{8}\right)\). \(\mathcal{C}\) est la parabole de sommet \(S\left(-\frac{1}{8},-\frac{1}{2}\right)\), d’axe focal la droite d’équation \(y=-\frac{1}{2}\), de paramètre \(p=1\) et donc de foyer \(F\left(-\frac{1}{8}+\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{3}{8},-\frac{1}{2}\right)\) et de directrice d’équation \(x=-\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=-\frac{5}{8}\). \(y=\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow y^2=2\left(x+\frac{3}{2}\right)\;\mbox{et}\;y\geq0\). \(\mathcal{C}\) est une demi-parabole de sommet \(S\left(-\frac{3}{2},0\right)\), d’axe focal \((Ox)\), de paramètre \(p=1\) et donc de foyer \(F\left(-\frac{3}{2}+\frac{1}{2},0\right)=(-1,0)\) et de directrice d’équation \(x=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=-2\).

exo7 5541