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Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ et $g(x) = \begin{cases}\frac{f(x)-f(0)}x & \text{ si } x \ne 0\cr f'(0) & \text{ si } x = 0.\cr\end{cases}$

Vérifier que $g(x) = \int_{t=0}^1 f'(tx)\,d t$. En déduire que $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$.

Montrer de même que la fonction $$g_k : x \mapsto \frac1{x^k}\left({f(x) - f(0) - xf'(0) - \dots - \frac{x^{k-1}}{(k-1)!}f^{(k-1)}(0)}\right)$$ se prolonge en une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ en 0.