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Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et \(g(x) = \begin{cases}\frac{f(x)-f(0)}x & \text{ si } x \ne 0\cr f'(0) & \text{ si } x = 0.\cr\end{cases}\)
Vérifier que \(g(x) = \int_{t=0}^1 f'(tx)\,d t\). En déduire que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\).
Montrer de même que la fonction \(g_k : x \mapsto \frac1{x^k}\left({f(x) - f(0) - xf'(0) - \dots - \frac{x^{k-1}}{(k-1)!}f^{(k-1)}(0)}\right)\) se prolonge en une fonction de classe \(\mathcal{C}^\infty\) en 0.