Soit \(n\in\Nn^*\). Soient \(a\) et \(A\) deux réels tels que \(0<a<A\). On considère \(\begin{array}[t]{cccc} F_n~:&[a,A]\times\Rr&\rightarrow&\Rr\\ &(x,t)&\mapsto&\frac{1}{(t^2+x^2)^n} \end{array}\).

Pour chaque \(x\) de \([a,A]\), la fonction \(t\mapsto F_n(x,t)\) est continue par morceaux et intégrable sur \([0,+\infty[\) car \(F_n(x,t)\underset{t\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{t^{2n}}>0\) avec \(2n>1\).

La fonction \(F_n\) est admet sur \([a,A]\times[0,+\infty[\) une dérivée partielle par rapport à sa première variable \(x\) définie par :

\(\forall(x,t)\in[a,A]\times[0,+\infty[\), \(\frac{\partial F_n}{\partial x}(x,t)=\frac{-2nx}{(t^2+x^2)^{n+1}}\).

De plus,

- pour chaque \(x\in[a,A]\), la fonction \(t\mapsto\frac{\partial F_n}{\partial x}(x,t)\) est continue par morceaux sur \([0,+\infty[\),

-pour chaque \(t\in[0,+\infty[\), la fonction \(x\mapsto\frac{\partial F_n}{\partial x}(x,t)\) est continue sur \([a,A]\),

-pour chaque \((x,t)\in[a,A]\times[0,+\infty[\),

\(\left|\frac{\partial F_n}{\partial x}(x,t)\right|=\frac{2nx}{(t^2+x^2)^{n+1}}\leqslant\frac{2nA}{(t^2+a^2)^{n+1}}=\varphi(t)\),

où la fonction \(\varphi\) est continue par morceaux et intégrable sur \([0,+\infty[\) car négligeable devant \(\frac{1}{t^2}\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\).

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de Leibniz), la fonction \(I_n\) est de classe \(C^1\) sur \([a,A]\) et sa dérivée s’obtient par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tous réels \(a\) et \(A\) tels que \(0<a<A\), on a montré que la fonction \(I_n\) est de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\) et que

\(\forall x>0\), \(I_n'(x)=-2nx\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(t^2+x^2)^{n+1}}\;dt=-2nxI_{n+1}(x)\).

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