Soit $n\in\Nn^*$ . Soient $a$ et $A$ deux réels tels que $0<a<A$ . On considère $\begin{array}{cccc} F_n~:&[a,A]\times\Rr&\rightarrow&\Rr\\ &(x,t)&\mapsto&\frac{1}{(t^2+x^2)^n} \end{array}$ .

Pour chaque $x$ de $[a,A]$ , la fonction $t\mapsto F_n(x,t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $[0,+\infty[$ car $F_n(x,t)\underset{t\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{t^{2n}}>0$ avec $2n>1$ .

La fonction $F_n$ est admet sur $[a,A]\times[0,+\infty[$ une dérivée partielle par rapport à sa première variable $x$ définie par :

$\forall(x,t)\in[a,A]\times[0,+\infty[$ , $\frac{\partial F_n}{\partial x}(x,t)=\frac{-2nx}{(t^2+x^2)^{n+1}}$ .

De plus,

- pour chaque $x\in[a,A]$ , la fonction $t\mapsto\frac{\partial F_n}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur $[0,+\infty[$ ,

-pour chaque $t\in[0,+\infty[$ , la fonction $x\mapsto\frac{\partial F_n}{\partial x}(x,t)$ est continue sur $[a,A]$ ,

-pour chaque $(x,t)\in[a,A]\times[0,+\infty[$ ,

$\left|\frac{\partial F_n}{\partial x}(x,t)\right|=\frac{2nx}{(t^2+x^2)^{n+1}}\leqslant\frac{2nA}{(t^2+a^2)^{n+1}}=\varphi(t)$ ,

où la fonction $\varphi$ est continue par morceaux et intégrable sur $[0,+\infty[$ car négligeable devant $\frac{1}{t^2}$ quand $t$ tend vers $+\infty$ .

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de Leibniz), la fonction $I_n$ est de classe $C^1$ sur $[a,A]$ et sa dérivée s’obtient par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tous réels $a$ et $A$ tels que $0<a<A$ , on a montré que la fonction $I_n$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et que

$\forall x>0$ , $I_n'(x)=-2nx\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(t^2+x^2)^{n+1}}\;dt=-2nxI_{n+1}(x)$ .

$\forall n\in\Nn^*$ , $I_n'(x)=-2nxI_{n+1}(x)$ .

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