Soit \(x\in\Rr\). La fonction \(t\mapsto f(x-t)g(t)\) est continue sur le segment \([0,T]\) et donc intégrable sur ce segment. Par suite, \(f*g(x)\) existe.

Soit \(x\in\Rr\). \(f*g(x+T)=\int_{0}^{T}f(x+T-t)g(t)\;dt=\int_{0}^{T}f(x-t)g(t)\;dt=f*g(x)\). Donc la fonction \(f*g\) est \(T\)-périodique.

Les fonction \(f\) et \(g\) sont continues sur \(\Rr\) et \(T\)-périodiques. Ces fonctions sont en particulier bornées sur \(\Rr\). On note \(M_1\) et \(M_2\) des majorants sur \(\Rr\) des fonctions \(|f|\) et \(|g|\) respectivement.

Soit \(\begin{array}[t]{cccc} \Phi~:&\Rr\times[0,T]&\rightarrow&\Rr\\ &(x,t)&\mapsto&f(x-t)g(t) \end{array}\).

- Pour chaque \(x\in\Rr\), la fonction \(t\mapsto\Phi(x,t)\) est continue par morceaux sur \([0,T]\).

- Pour chaque \(t\in[0,T]\), la fonction \(x\mapsto\Phi(x,t)\) est continue sur \(\Rr\).

- Pour chaque \((x,t)\in\Rr\times[0,T]\), \(|\Phi(x,t)|\leqslant M_1M_2=\varphi(t)\). De plus, la fonction \(\varphi\) est continue et donc intégrable sur le segment \([0,T]\).

D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonction \(f*g\) est continue sur \(\Rr\).

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