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L’objectif de cet exercice est de trouver l’expression explicite des primitives de $x \to \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ . On pose $I_1 = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx$ et $I_2 = \int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} dx$ .

En intégrant $I_1$ par parties, donner une relation entre $I_2$ et $I_1$ . On pourra écrire $\frac{x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{a}{1 + x^2} + \frac{b}{(1 + x^2)^2}$ , où $a$ et $b$ sont deux réels à préciser.

En déduire l’expression de $I_2$ .