L’objectif de cet exercice est de trouver l’expression explicite des primitives de \(x \to \frac{1}{(x^2 + 1)^2}\). On pose \(I_1 = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx\) et \(I_2 = \int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} dx\).
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En intégrant \(I_1\) par parties, donner une relation entre \(I_2\) et \(I_1\). On pourra écrire \(\frac{x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{a}{1 + x^2} + \frac{b}{(1 + x^2)^2}\), où \(a\) et \(b\) sont deux réels à préciser.
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En déduire l’expression de \(I_2\).