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Soit \(R>0\), \(D_R=\{x^2+y^2\le R^2, x>0, y>0\}\) et \(K_R=[0,R]^2\). Montrer que : \[\iint_{D_R} e^{-(x^2+y^2)}\, dx\, dy \le \iint_{K_R} e^{-(x^2+y^2)}\, dx\, dy \le \iint_{D_{2R}} e^{-(x^2+y^2)}\, dx\, dy.\]
En déduire l’existence et la valeur de \[\lim_{R\rightarrow +\infty} \int_0^R e^{-t^2}\, dt.\]