Pour \(n\in\Nn^*\) et \(R\geqslant0\), posons \(B_n(R)=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\Rr^n/\;x_1^2+\ldots+x_n^2\leqslant R^2\}\) et notons \(V_n(R)\) le volume de \(B_n(R)\). Par définition,

\(V_n(R)=\displaystyle\int\ldots\iint_{x_1^2+\ldots+x_n^2\leqslant R^2}dx_1\ldots dx_n\).

En posant \(x_1=Ry_1\), …, \(x_n=Ry_n\), on a \(\frac{D(x_1,\ldots,x_n)}{D(y_1,\ldots,y_n)}=R^n\) (quand \(R>0\)) puis

\(V_n(R)=\displaystyle\int\ldots\iint_{x_1^2+\ldots+x_n^2\leqslant R^2}dx_1\ldots dx_n=R^n\displaystyle\int\ldots\iint_{y_1^2+\ldots+y_n^2\leqslant1}dy_1\ldots dy_n=R^nV_n(1)\).

ce qui reste vrai quand \(R=0\). Pour \(n\geqslant2\), on peut alors écrire

\[\begin{align*}\ensuremath V_n(1)&=\displaystyle\int_{-1}^1\left(\displaystyle\int\ldots\iint_{x_1^2+\ldots+x_{n-1}^2\leqslant 1-x_n^2}dx_1\ldots dx_{n-1}\right)dx_n=\int_{-1}^{1}V_{n-1}\left(\sqrt{1-x_n^2}\right)\;dx_n\\ &=\int_{-1}^{1}(1-x_n^2)^{(n-1)/2}V_{n-1}(1)\;dx_n=I_{n}V_{n-1}(1) \end{align*}\]

où \(I_{n}=\int_{-1}^{1}(1-x^2)^{(n-1)/2}\;dx\). Pour calculer \(I_n\), on pose \(x=\cos\theta\). On obtient

\(I_n=\int_{\pi}^{0}(1-\cos^2\theta)^{(n-1)/2}(-\sin\theta)\;d\theta=\int_{0}^{\pi}\sin^{n}\theta\;d\theta=2\int_{0}^{\pi/2}\sin^n\theta\;d\theta=2W_n\) (intégrales de Wallis).

Finalement,

\(V_1(1)=2\) et \(\forall n\geqslant2\), \(V_n(1)=2W_nV_{n-1}(1)\).

On en déduit que pour \(n\geqslant2\),

\(V_n(1)=(2W_n)(2W_{n-1})\ldots(2W_2)V_1(1)=2^n\prod_{k=2}^{n}W_k=2^n\prod_{k=1}^{n}W_k\),

ce qui reste vrai pour \(n=1\). Maintenant, il est bien connu que la suite \(((n+1)W_{n+1}W_n)_{n\in\Nn}\) est constante et plus précisément que \(\forall n\in\Nn\), \((n+1)W_{n+1}W_n=W_1W_0= \frac{\pi}{2}\). Donc, pour \(p\in\Nn^*\),

\[\begin{align*}\ensuremath V_{2p}(1)&=2^{2p}\prod_{k=1}^{2p}W_k=2^{2p}\prod_{k=1}^{p}(W_{2k-1}W_{2k})=2^{2p}\prod_{k=1}^{p} \frac{\pi}{2(2k)}= \frac{\pi^p}{p!}, \end{align*}\]

et de même

\[\begin{align*}\ensuremath V_{2p+1}(1)&=2^{2p+1}\prod_{k=2}^{2p+1}W_k=2^{2p+1}\prod_{k=1}^{p}(W_{2k}W_{2k+1})=2^{2p+1}\prod_{k=1}^{p} \frac{\pi}{2(2k+1)}\\ &= \frac{\pi^p2^{p+1}}{3\times5\times\ldots\times(2p+1)}= \frac{\pi^p2^{p+1}(2p)\times(2p-2)\times\ldots\times2}{(2p+1)!}= \frac{\pi^p2^{2p+1}p!}{(2p+1)!}. \end{align*}\]

En particulier, \(V_1(R)=2R\), \(V_2(R)=\pi R^2\) et \(V_3(R)= \frac{4}{3}\pi R^3\).

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