\(D_f = {]0,+\infty[}\). Il y a domination locale, donc \(f\) est continue.

De même, pour \(x>0\) on a \(f'(x) = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{-\ln(t)t^{x+1}}{(t^{x+1}+t+1)^2}\,d t\). En coupant l’intégrale en \(1\) et en posant \(u=1/t\) dans l’intégrale sur \([1,+\infty[\) il vient : \(f'(x) = \int_{t=0}^1\ln(t)t^{x+1}\Bigl(\frac1{(t+t^{x+1}+t^{x+2})^2} - \frac1{(t^{x+1}+t+1)^2}\Bigr)\,d t < 0\) car \(\ln(t)<0\) et \(t^{x+2}<1\) si \(t\in{]0,1[}\). Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\).

\(\int_{t=1}^{+\infty}\frac{d t }{t^{x+1}+t} = \int_{t=1}^{+\infty}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{t^{(k+1)x+1}}\,d t =\) (domination du reste avec le CSA) \(= \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(k+1)x}= \frac{\ln 2}x\).

\(\Bigl|f(x)- \int_{t=1}^{+\infty}\frac{1}{t^{x+1}+t}\Bigr| = \int_{t=0}^1\frac{d t}{t^{x+1}+t+1} + \int_{t=1}^{+\infty}\frac{d t}{(t^{x+1}+t)(t^{x+1}+t+1)} \le \int_{t=0}^1\frac{d t}{t+1} + \int_{t=1}^{+\infty}\frac{d t}{t(t+1)} = 2\ln 2\) donc \(f(x) = \frac{\ln 2}x + O_{x\to0^+}(1)\).

Pour \(x\to+\infty\), on a avec le TCM séparément sur \([0,1]\) et sur \([1,+\infty[\) : lorsque \(x\to+\infty\), \(f(x)\to \int_{t=0}^1\frac{d t}{t+1} = \ln 2\).

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