$D_f = {]0,+\infty[}$ . Il y a domination locale, donc $f$ est continue.

De même, pour $x>0$ on a $f'(x) = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{-\ln(t)t^{x+1}}{(t^{x+1}+t+1)^2}\,d t$ . En coupant l’intégrale en $1$ et en posant $u=1/t$ dans l’intégrale sur $[1,+\infty[$ il vient : $f'(x) = \int_{t=0}^1\ln(t)t^{x+1}\Bigl(\frac1{(t+t^{x+1}+t^{x+2})^2} - \frac1{(t^{x+1}+t+1)^2}\Bigr)\,d t < 0$ car $\ln(t)<0$ et $t^{x+2}<1$ si $t\in{]0,1[}$ . Donc $f$ est strictement décroissante sur $]0,+\infty[$ .

$\int_{t=1}^{+\infty}\frac{d t }{t^{x+1}+t} = \int_{t=1}^{+\infty}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{t^{(k+1)x+1}}\,d t =$ (domination du reste avec le CSA) $= \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(k+1)x}= \frac{\ln 2}x$ .

$\Bigl|f(x)- \int_{t=1}^{+\infty}\frac{1}{t^{x+1}+t}\Bigr| = \int_{t=0}^1\frac{d t}{t^{x+1}+t+1} + \int_{t=1}^{+\infty}\frac{d t}{(t^{x+1}+t)(t^{x+1}+t+1)} \le \int_{t=0}^1\frac{d t}{t+1} + \int_{t=1}^{+\infty}\frac{d t}{t(t+1)} = 2\ln 2$ donc $f(x) = \frac{\ln 2}x + O_{x\to0^+}(1)$ .

Pour $x\to+\infty$ , on a avec le TCM séparément sur $[0,1]$ et sur $[1,+\infty[$ : lorsque $x\to+\infty$ , $f(x)\to \int_{t=0}^1\frac{d t}{t+1} = \ln 2$ .

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