On pose déjà $x=ua$ et $y=vb$ de sorte que $\frac{D(u,v)}{D(x,y)}=ab$ . On obtient

$I=\displaystyle\iint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leqslant1}(x^2-y^2)\;dxdy=ab\displaystyle\iint_{u^2+v^2\leqslant1}(a^2u^2-b^2v^2)\;dudv$ .

Ensuite,

$\begin{align*}\ensuremath \displaystyle\iint_{u^2+v^2\leqslant1}u^2\;dudv&=\displaystyle\iint_{u^2+v^2\leqslant1}v^2\;dudv= \frac{1}{2}\displaystyle\iint_{u^2+v^2\leqslant1}(u^2+v^2)\;dudv= \frac{1}{2}\int_{r=0}^{r=1}\int_{\theta=0}^{2\pi}r^2\times rdrd\theta\\ &= \frac{1}{2}\int_{0}^{1}r^3dr\int_{0}^{2\pi}d\theta= \frac{1}{2}\times \frac{1}{4}\times2\pi= \frac{\pi}{4}, \end{align*}$

et donc

$I= \frac{\pi ab(a^2-b^2)}{4}$ .

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