L2 Analyse Intégration Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPI 6 questions

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Soit f(x)=∫t=0+∞e−t2x1+t2 dtf(x) = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{e^{-t^2x}}{1+t^2}\,d t.

1

Trouver le domaine de définition de ff.

2

Montrer que ff est dérivable sur R+∗\R^{+*}.

3

Calculer f−f′f-f'.

4

Donner un équivalent simple de f′(x)f'(x) pour x→+∞x\to+\infty.

5

Montrer que f(x)=π2x−π4xx+o(1xx)f(x) = \frac{\sqrt\pi}{2\sqrt x} - \frac{\sqrt\pi}{4x\sqrt x} + o\Bigl(\frac1{x\sqrt x}\Bigr).

6

Tracer la courbe de ff.

Exercice EKgH

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