Soit \(f(x) = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{e^{-t^2x}}{1+t^2}\,d t\).
1
Trouver le domaine de définition de \(f\).
2
Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\R^{+*}\).
3
Calculer \(f-f'\).
4
Donner un équivalent simple de \(f'(x)\) pour \(x\to+\infty\).
5
Montrer que \(f(x) = \frac{\sqrt\pi}{2\sqrt x} - \frac{\sqrt\pi}{4x\sqrt x} + o\Bigl(\frac1{x\sqrt x}\Bigr)\).
6
Tracer la courbe de \(f\).