Notons $D$ le domaine de définition de $f$ .

Si $x\in D$ , $-x\in D$ et $f(-x)=-f(x)$ . $f$ est donc impaire.

Si $x\in D$ , $x+2\pi\in D$ et $f(x+2\pi)=f(x)$ . $f$ est donc $2\pi$ -périodique.

On étudiera donc $f$ sur $[0,\pi]$ .

Soient $x\in[0,\pi]$ et $t\in[-1,1]$ . $t^2-2t\cos x+1=(t-\cos x)^2+\sin^x\geq0$ avec égalité si et seulement si $\sin x=0$ et $t-\cos x=0$ .

Ainsi, si $x\in]0,\pi[$ , $\forall t\in]-1,1[,\;t^2-2t\cos x+1\neq0$ . On en déduit que la fraction rationnelle $t\mapsto \frac{\sin t}{1-2t\cos x+t^2}$ est continue sur $[-1,1]$ , et donc que $f(x)$ existe.

Si $x=0$ , $\forall t\in[-1,1[$ , $\frac{\sin x}{t^2-2t\cos x+1}=\frac{0}{(t-1)^2}=0$ . On prut prolonger cette fonction par continuité en $1$ et consisérer que $f(0)=\int_{-1}^{1}0\;dt=0$ . De même, on peut considérer que $f(\pi)=0$ .

Ainsi, $f$ est définie sur $[0,\pi]$ et donc, par parité et $2\pi$ -périodicité, sur $\Rr$ .

Soit $x\in]0,\pi[$ .Calculons $f(x)$ .

$\begin{align*}\ensuremath f(x)&=\int_{-1}^{1}\frac{\sin x}{(t-\cos x)^2+\sin^2x}\;dt=\left[\Arctan\frac{t-\cos x}{\sin x}\right]_{-1}^{1} =\Arctan\frac{1-\cos x}{\sin x}+\Arctan\frac{1+\cos x}{\sin x}\\ &=\Arctan\frac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}+\Arctan\frac{2\cos^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)} =\Arctan(\tan(x/2))+\Arctan(\frac{1}{\tan(x/2)})\\ &=\frac{\pi}{2}\;(\mbox{car}\;\tan(x/2)>0\;\mbox{pour}\;x\in]0,\pi[). \end{align*}$

Ce calcul achève l’étude de $f$ . En voici le graphe :

\[\]

exo7 5472