Notons \(D\) le domaine de définition de \(f\).

Si \(x\in D\), \(-x\in D\) et \(f(-x)=-f(x)\). \(f\) est donc impaire.

Si \(x\in D\), \(x+2\pi\in D\) et \(f(x+2\pi)=f(x)\). \(f\) est donc \(2\pi\)-périodique.

On étudiera donc \(f\) sur \([0,\pi]\).

Soient \(x\in[0,\pi]\) et \(t\in[-1,1]\). \(t^2-2t\cos x+1=(t-\cos x)^2+\sin^x\geq0\) avec égalité si et seulement si \(\sin x=0\) et \(t-\cos x=0\).

Ainsi, si \(x\in]0,\pi[\), \(\forall t\in]-1,1[,\;t^2-2t\cos x+1\neq0\). On en déduit que la fraction rationnelle \(t\mapsto \frac{\sin t}{1-2t\cos x+t^2}\) est continue sur \([-1,1]\), et donc que \(f(x)\) existe.

Si \(x=0\), \(\forall t\in[-1,1[\), \(\frac{\sin x}{t^2-2t\cos x+1}=\frac{0}{(t-1)^2}=0\). On prut prolonger cette fonction par continuité en \(1\) et consisérer que \(f(0)=\int_{-1}^{1}0\;dt=0\). De même, on peut considérer que \(f(\pi)=0\).

Ainsi, \(f\) est définie sur \([0,\pi]\) et donc, par parité et \(2\pi\)-périodicité, sur \(\Rr\).

Soit \(x\in]0,\pi[\).Calculons \(f(x)\).

\[\begin{align*}\ensuremath f(x)&=\int_{-1}^{1}\frac{\sin x}{(t-\cos x)^2+\sin^2x}\;dt=\left[\Arctan\frac{t-\cos x}{\sin x}\right]_{-1}^{1} =\Arctan\frac{1-\cos x}{\sin x}+\Arctan\frac{1+\cos x}{\sin x}\\ &=\Arctan\frac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}+\Arctan\frac{2\cos^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)} =\Arctan(\tan(x/2))+\Arctan(\frac{1}{\tan(x/2)})\\ &=\frac{\pi}{2}\;(\mbox{car}\;\tan(x/2)>0\;\mbox{pour}\;x\in]0,\pi[). \end{align*}\]

Ce calcul achève l’étude de \(f\). En voici le graphe :

\[\]

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