Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que \(\int_{t=0}^{+\infty}f(t)\,d t\) converge (pas forcément absolument).
On pose \(\varphi(a) = \int_{t=0}^{+\infty}e^{-at}f(t)\,d t\).
1
Montrer que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]0,+\infty[\).
2
Montrer que \(\varphi\) est continue en \(0\).