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Soit $f : {[a,b]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ et $F(x) = \int_{t=a}^b f(t)e^{-itx}\,d t$ avec $a<0<b$. Montrer que $F(x)\to0$ lorsque $x\to+\infty$.

Montrer que $F(x) = \frac{f(a)e^{-iax} - f(b)e^{-ibx}}{ix} + o\Bigl(\frac1x\Bigr)$.

Montrer la convergence de l’intégrale $I= \int_{t=-\infty}^{+\infty}e^{-it^2/2}\,d t$.

Soit $g(x) = \int_{t=a}^bf(t)e^{-ixt^2/2}\,d t$. Montrer que $g(x) = \frac{I.f(0)}{\sqrt x} + o\Bigl(\frac1{\sqrt x}\Bigr)$.