1
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et \(F(x) = \int_{t=a}^b f(t)e^{-itx}\,d t\) avec \(a<0<b\). Montrer que \(F(x)\to0\) lorsque \(x\to+\infty\).
2
Montrer que \(F(x) = \frac{f(a)e^{-iax} - f(b)e^{-ibx}}{ix} + o\Bigl(\frac1x\Bigr)\).
3
Montrer la convergence de l’intégrale \(I= \int_{t=-\infty}^{+\infty}e^{-it^2/2}\,d t\).
4
Soit \(g(x) = \int_{t=a}^bf(t)e^{-ixt^2/2}\,d t\). Montrer que \(g(x) = \frac{I.f(0)}{\sqrt x} + o\Bigl(\frac1{\sqrt x}\Bigr)\).