Soient \(f,g\in\mathcal{C}([0,+\infty[,\R)\). On pose \(h(x) = \int_{t=0}^x f(x-t)g(t)\,d t\).
1
Existence et continuité de \(h\).
2
Peut-on inverser \(f\) et \(g\) ?
3
On suppose \(f\) intégrable sur \([0,+\infty[\) et \(g\) bornée. Montrer que \(h\) est bornée.
4
On prend \(f(x) = \frac{\sin x}x\) et \(g(x) = \cos(\alpha x)\) avec \(0\le\alpha\le 1\). \(h\) est-elle bornée (on pourra étudier les cas \(\alpha=0\) et \(\alpha=1\)) ?