Pour $t\in\Rr$ , posons $g(t)=\frac{1}{\sqrt{t^4+t^2+1}}$ . $g$ est continue sur $\Rr$ et admet donc des primitives sur $\Rr$ . Soit $G$ une primitive de $g$ sur $\Rr$ .

Définition, dérivabilté, dérivée.

Puisque $g$ est continue sur $\Rr$ , $F$ est définie sur $\Rr$ et pour tout réel $x$ , $F(x)=G(2x)-G(x)$ . $G$ est de classe $C^1$ sur $\Rr$ et donc $F$ est de classe $C^1$ sur $\Rr$ et pour tout réel $x$ ,

$F'(x)=2G'(2x)-G'(x)=2g(2x)-g(x)=\frac{2}{\sqrt{16x^4-4x^2+1}}-\frac{1}{\sqrt{x^4+x^2+1}}.$

Parité.

Soit $x\in\Rr$ . En posant $t=-u$ et donc $dt=-du$ , on obtient, en notant que $g$ est paire

$F(-x)=\int_{-x}^{-2x}g(t)\;dt=\int_{x}^{2x}g(-u).-du=-\int_{x}^{2x}g(u)\;du=-F(x).$

$F$ est donc impaire.

Variations.

Pour $x$ réel,

$\begin{align*}\ensuremath \mbox{sgn}(F'(x))&=\mbox{sgn}(\frac{2}{\sqrt{16x^4-4x^2+1}}-\frac{1}{\sqrt{x^4+x^2+1}})=\mbox{sgn}(2\sqrt{x^4+x^2+1}-\sqrt{16x^4-4x^2+1})\\ &=\mbox{sgn}(4(x^4+x^2+1)-(16x^4+4x^2+1))\;(\mbox{par croissance de}\;t\mapsto t^2\;\mbox{sur}\;\Rr^+)\\ &=\mbox{sgn}(-12x^4+3)=\mbox{sgn}(1-4x^4)=\mbox{sgn}(1-2x^2). \end{align*}$

$F$ est donc strictement croissante sur $[-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}]$ et strictement décroissante sur $]-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}]$ et sur $[\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty[$ .

Etude en $\bf{+{\infty}}$ .

Pour $x>0$ , $0\leq F(x)\leq\int_{x}^{2x}\frac{1}{\sqrt{x^4}}\;dt=\frac{2x-x}{x^2}=\frac{1}{x}$ . Comme $\frac{1}{x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ , le théorème des gendarmes permet d’affirmer que $\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)=0$ .

Graphe.

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